Formule de Mollweide

Notations usuelles pour un triangle.

En géométrie du triangle, les formules de Mollweide, portant le nom du mathématicien et astronome prussien Modèle:Lien (1774-1825), sont les identités trigonométriques suivantes Modèle:, :

$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)}\mathrm{e}\mathrm{t}\frac{a-b}{c}=\frac{\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)},$

où (cf. figure ci-contre) Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math désignent les longueurs des côtés d'un triangle ABC et Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math les mesures des angles opposés.

La loi des tangentes en est un corollaire immédiat, compte tenu du fait que Modèle:Sfrac est complémentaire de Modèle:Sfrac (donc le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre).

Démonstration

On utilise la loi des sinus, puis une formule de Simpson au numérateur et une formule de l'angle double au dénominateur :

$\frac{a+b}{c}=\frac{\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \gamma }=\frac{2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}{2\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)\sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)},$

ce qui prouve la première formule. La seconde se démontre de même.

Voir aussi

Articles connexes

• Loi des cosinus
• Loi des cotangentes