Formule de Riemann-von Mangoldt

En mathématiques, la formule de Riemann-von Mangoldt, du nom de Bernhard Riemann et Hans Carl Friedrich von Mangoldt, décrit la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann.

La formule indique que le nombre $N(T)$ de zéros de la fonction zêta avec une partie imaginaire supérieure à $0$ et inférieure ou égale à $T$ satisfait

$$N(T)=\frac{T}{2\pi }\ln \frac{T}{2\pi }-\frac{T}{2\pi }+O(\ln T).$$

Cette formule a été conjecturée par Riemann dans son mémoire Sur le nombre d'amorces inférieures à une ampleur donnée (1859) et a finalement été prouvée par von Mangoldt en 1895.

Backlund donne une forme explicite de l'erreur pour tout $T$ supérieur à $2$ :

$$\left|N(T)-(\frac{T}{2\pi }\ln \frac{T}{2\pi }-\frac{T}{2\pi }-\frac{7}{8})\right|<0.137\ln T+0.443\ln (\ln T)+4.350.$$

Conséquences de la formule

• La fonction zêta de Riemann possède une infinité de zéros non triviaux.
• Si $({\gamma }_n{)}_{n⩾1}$ désigne la suite croissante des parties imaginaires des zéros de la fonction $\xi$ de Riemann dans le demi-plan supérieur, alors ${\gamma }_n\sim 2\pi n/\ln n$ pour $n\to \mathrm{\infty }$. Littlewood (1924) a montré que ${\gamma }_{n+1}-{\gamma }_n\to 0.$

Voir aussi

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