Fonction xi de Riemann

La fonction xi de Riemann $\xi (s)$ dans le plan complexe La couleur d'un point $s$ code la valeur de $\xi (s)$ : des couleurs sombres dénotent des valeurs proches de zéro et la nuance indique l'argument de la valeur.

En mathématiques, la fonction xi de Riemann est une variante de la fonction zêta de Riemann et est définie de manière à avoir une équation fonctionnelle particulièrement simple. La fonction est nommée en l'honneur de Bernhard Riemann.

Définition et propriétés

La fonction désignée de nos jours comme la fonction Modèle:Mvar (prononcée "xi") de Riemann est définie pour tout $s\in ℂ$ par

$$\xi (s):=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta (s),$$où Modèle:Math désigne la fonction zêta de Riemann et Modèle:Math est la fonction Gamma. Cette notation est due à Edmund Landau. La fonction que Riemann notait Modèle:Mvar a été rebaptisée Modèle:Math par Landau et satisfait $$\mathrm{\Xi }(z)=\xi (\frac{1}{2}+z\mathrm{i}).$$

L'équation fonctionnelle de Modèle:Mvar est donnée par

$$\xi (1-s)=\xi (s),$$

provenant de l'équation fonctionnelle de Modèle:Mvar. Celle de Modèle:Math est donnée par

$$\mathrm{\Xi }(-z)=\mathrm{\Xi }(z).$$

De nombreuses propriétés de Modèle:Mvar découlent de celles de Modèle:Mvar : par exemple, Modèle:Mvar est holomorphe dans tout le plan complexe (et on a Modèle:Math). De plus, tous ses zéros sont dans la bande critique $0<ℛe(s)<1$ et dans cette dernière, Modèle:Mvar possède les mêmes zéros que Modèle:Mvar .

Valeurs

La forme générale des valeurs aux entiers pairs positifs est donnée par

$$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{n!}{(2n)!}{B}_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n-1)$$

où $B_n$ désigne le n-ième nombre de Bernoulli. Par exemple, on a $\xi (2)=\pi /6$.

Représentations en série

La fonction possède le développement en série

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n,$

où

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{s}^n}[s^{n-1}\log \xi (s)]|}_{s=1}=\sum _{\varrho }[1-{(1-\frac{1}{\varrho })}^n],$

où la somme s'étend sur $\varrho$, les zéros non triviaux de la fonction zêta, dans l'ordre de la valeur absolue de sa partie imaginaire.

Cette expansion joue un rôle particulièrement important dans le critère de Li, qui stipule que l'hypothèse de Riemann équivaut à avoir ${\lambda }_n>0$ pour tout n positif.

Formule de Riemann-van Mangoldt

En notant $\varrho =\beta +\mathrm{i}\gamma$ un zéro quelconque de $\xi$, on pose

$$N(T):=\sum _{\varrho :0⩽\gamma ⩽T}1.$$

La formule de Riemann-von Mangoldt établit alors une formule asymptotique pour cette fonction lorsque $T\to +\mathrm{\infty }$

$$N(T)=\frac{T}{2\pi }\ln \left(\frac{T}{2\pi }\right)-\frac{T}{2\pi }+O(\ln T).$$

En particulier, cela implique que $\zeta$ possède une infinité de zéros non triviaux.

Produit de Hadamard

Le développement de Hadamard relatif aux zéros de $\xi$ est donné par

$$\xi (s)={\mathrm{e}}^{as}\prod _{\varrho }(1-\frac{s}{\varrho }){\mathrm{e}}^{s/\varrho }$$

où $a=\frac{1}{2}\ln (4\pi )-\frac{1}{2}\gamma -1\approx -0,02310$ ($\gamma$ étant la constante d'Euler-Mascheroni). On en déduit alors le développement pour $\zeta$

$$\zeta (s)=\frac{{\mathrm{e}}^{bs}}{2(s-1)}\mathrm{\Gamma }{(\frac{s}{2}+1)}^{-1}\prod _{\varrho }(1-\frac{s}{\varrho }){\mathrm{e}}^{s/\varrho }(s\ne 1)$$

où $b=\ln (2\pi )-\frac{1}{2}\gamma -1\approx 0,54927$ (avec la même définition pour $\gamma$).

Voir aussi

• Modèle:Mathworld
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