Formule de Tanaka

En calcul stochastique, la formule de Tanaka s'écrit :

$|B_t|=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{sgn}(B_s)d{B}_s+L_t$

où B_t est un mouvement brownien standard, sgn désigne la fonction signe :

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}+1,& x\ge 0;\\ -1,& x<0.\end{array}$

et L_t est le Modèle:Lien en 0 du mouvement brownien B (le temps local passé par B en 0 jusqu'au temps t). Celui-ci est donné par la limite dans L² suivante :

$L_t=\underset{\epsilon \downarrow 0}{\lim }\frac{1}{2\epsilon }|\{s\in [0,t]|B_s\in (-\epsilon ,+\epsilon )\}|.$

La formule de Tanaka correspond à la décomposition de Doob–Meyer explicite de la sous-martingale |B_t| en sa partie martingale (l'intégrale du membre de droite), et son processus croissant continu (le temps local). On peut aussi voir cette formule comme une analogue du lemme d'Itô pour la fonction valeur absolue (qui n'est pas régulière) $f(x)=|x|$, avec $f^{\prime }(x)=\mathrm{sgn}(x)$ et $f^{″}(x)=2\delta (x)$.

Plan de la preuve

La fonction |x| n'est pas de classe C² en x = 0, donc il n'est pas possible d'appliquer le lemme d'Itô directement. Mais si on approxime cette fonction au voisinage de 0 (i.e. sur l'intervalle[−ε, ε]) par des polynômes :

$\frac{x^2}{2|\epsilon |}+\frac{|\epsilon |}{2},$

on peut alors utiliser le lemme d'Itô et prendre la limite lorsque ε → 0, pour obtenir la formule de Tanaka.

Références

• Modèle:Ouvrage (Example 5.3.2)
• Modèle:Ouvrage