Formule des compléments

Modèle:Ébauche La formule des compléments désigne une propriété de la fonction gamma :

Modèle:Énoncé Cette propriété a été découverte par Leonhard Euler.

Démonstration

B (p, q) = \int_{0}^{1} t^{p - 1} (1 - t)^{q - 1} d t .

En posant Modèle:Math complexe de partie réelle comprise entre 0 et 1, puis en faisant le changement de variables Modèle:Math, on obtient l’égalité :

B (z, 1 - z) = \int_{0}^{1} t^{z - 1} (1 - t)^{- z} d t = \int_{0}^{+ \infty} \frac{u^{z - 1}}{1 + u} d u = \int_{0}^{+ \infty} f (u) d u .

On calcule cette intégrale par le théorème des résidus. Pour cela, on définit le chemin suivant pour Modèle:Math :

CModèle:Ind le demi-cercle de rayon ε sur le demi-plan Modèle:Math
les deux segments $S_{ε, R}^{\pm} = {\pm i ε, \pm i ε + \sqrt{R^{2} - ε^{2}}}$
l'arc de cercle $Γ_{ε, R} = {R e^{i θ}, θ \in [\arctan \frac{ε}{\sqrt{R^{2} - ε^{2}}}, 2 π - \arctan \frac{ε}{\sqrt{R^{2} - ε^{2}}}]}$

En choisissant Modèle:Math et Modèle:Math de sorte que le point Modèle:Math soit dans le lacet, le théorème des résidus donne

\int_{C_{ε}} f (w) d w + \int_{S_{ε, R}^{+}} f (w) d w + \int_{Γ_{ε, R}} f (w) d w + \int_{S_{ε, R}^{-}} f (w) d w = 2 i π R e s (- 1, f) .

En faisant tendre Modèle:Math vers 0 et Modèle:Math vers l’infini, il vient, par le lemme de Jordan, que les intégrales sur CModèle:Ind et ΓModèle:Ind tendent vers 0. D'autre part, en considérant les logarithmes complexes, il vient :

\forall t > 0, (t + i ε)^{1 - z} \underset{ε \to 0}{⟶} t^{1 - z}, (t - i ε)^{1 - z} \underset{ε \to 0}{⟶} t^{1 - z} e^{- 2 i π z} .

Ainsi, après simplifications, on a :

2 i π R e s (- 1, f) = (1 - e^{2 i π z}) \int_{0}^{+ \infty} \frac{u^{z - 1}}{1 + u} d u .

De plus :

R e s (- 1, f) = \lim_{w \to - 1} \frac{1}{w^{1 - z}} = - e^{i π z} .

Donc, en simplifiant

B (z, 1 - z) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{u^{z - 1}}{1 + u} d u = \frac{π}{\sin (π z)} .

Il suffit alors de rappeler la définition de la fonction bêta à partir de la fonction Gamma d'Euler pour conclure.