Formules de Binet

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En physique, en mécanique classique, les formules de Binet sont des expressions de la vitesse et de l'accélération d'un corps soumis à une force centrale telle que la gravitation ou un champ électrostatique. Elles ont été introduites par Laurent Binet Modèle:Référence nécessaire.

Elles permettent d'exprimer, en coordonnées polaires, la position d'un mobile en fonction de l'inverse du rayon vecteur et de ses dérivées par rapport à l'angle formé par celui-ci. En effet, l'expression en fonction du temps est beaucoup plus difficile à établir. En particulier, les formules de Binet permettent de démontrer que, dans un champ de force centrale en $\frac{K}{r^{2}}$ , les trajectoires sont des coniques.

Formules de Binet

On considère tout d'abord le cas attractif. En posant $u : = \frac{1}{r}$ , en notant $\dot{x} : = \frac{d x}{d t}$ , $x^{'} : = \frac{d x}{d θ}$ , et en exprimant $C = r^{2} \dot{θ} = \frac{L_{O}}{m}$ la constante des aires, d'après la seconde loi de Kepler, on peut montrer que :

\vec{v} = - C u^{'} \vec{e_{r}} + C u \vec{e_{θ}}

;

\vec{a} = - C^{2} u^{2} (u^{″} + u) \vec{e_{r}}

.

L'accélération est donc radiale comme la force à laquelle est soumise le corps. Dans le cas répulsif, les composantes selon e_r seraient positives, le corps étudié s'éloignerait du centre de force.

Modèle:Démonstration

Trajectoires coniques

On considère ici le cas attractif, le cas répulsif donnant exactement le même résultat. En utilisant la seconde loi de Newton, on a :

m \vec{a} = \frac{- K}{r^{2}} \vec{e_{r}} = - u^{2} K \vec{e_{r}}

.

En insérant l'expression de l'accélération et en remplaçant $\frac{1}{r}$ par $u$ , puis enfin en projetant selon $\vec{e_{r}}$ , on a :

m C^{2} (u^{″} + u) = K

, soit encore :

u^{″} + u = \frac{K}{m C^{2}}

.

Cette équation différentielle s'intègre facilement : c'est un oscillateur harmonique. On obtient :

u (θ) = A \cos (θ + ϕ) + B

, avec

B = \frac{K}{m C^{2}}

En revenant à l'expression de r, on a :

r (θ) = \frac{1}{B + A \cos (θ + ϕ)}

.

En exprimant le paramètre $p = \frac{m C^{2}}{K}$ et l'excentricité $e = p A$ on obtient :

r (θ) = \frac{p}{1 + e \cos (θ + ϕ)}

.

C'est bien l'expression d'une conique en coordonnées polaires, dont la nature exacte - parabole, hyperbole ou ellipse - dépend des conditions initiales.

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