Groupe de Schützenberger

En algèbre générale, et notamment en théorie des demi-groupes, le groupe de Schützenberger est un groupe associé à une $\mathscr{H}$-classe, au sens des relations de Green d'un demi-groupe. Les groupes de Schützenberger de deux $\mathscr{H}$-classes d'une même $𝒟$-classe sont isomorphes. Si une $\mathscr{H}$-classe est un groupe, le groupe de Schützenberger de cette $\mathscr{H}$-classe est isomorphe à cette classe.

Il y a en fait deux groupes de Schützenberger associés à une $\mathscr{H}$-classe donnée; ils sont anti-isomorphes l'un de l'autre.

Les groupes de Schützenberger ont été décrits par Marcel-Paul Schützenberger en 1957. Ils ont été nommés ainsi dans le livre de Alfred H. Clifford et Gordon PrestonModèle:,.

Le groupe de Schützenberger

Soit $S$ un demi-groupe. On définit $S^1$ comme étant égal à $S$ si $S$ est un monoïde, sinon égal à $S\cup \{1\}$, où $1$ est un élément neutre ajouté, donc vérifiant $a1=1a=a$ pour tout $a$ de $S^1$.

La relation de Green $\mathscr{H}$ est définie comme suit. Soient $a$ et $b$ deux éléments de $S$. Alors

$a\mathscr{H}b$ si et seulement s'il existe $x,y,z,t$ dans $S^1$ tels que $xa=yb$ et $az=bt$.

La $\mathscr{H}$-classe d'un élément $a$ est notée $H(a)$. C'est l'ensemble des éléments $b$ de $S$ tels que $a\mathscr{H}b$.

Soit $H$ une $\mathscr{H}$-classe de $S$. Soit $T(H)$ l’ensemble des éléments $t$ de $S^1$ tels que $Ht$ est un sous-ensemble de $H$. Chaque $t$ de $T(H)$ définit une transformation, notée ${\gamma }_t:H\to H$ de $H$ dans lui-même qui envoie un élément $h$ sur $ht$ :

${\gamma }_t:h\mapsto ht$.

L'ensemble $\mathrm{\Gamma }(H)$ de ces transformations est en fait un groupe pour la composition des fonctions, considérées comme opérant à droite (${\gamma }_{ts}={\gamma }_t\circ {\gamma }_s$). C'est le groupe de Schützenberger associé à la $\mathscr{H}$-classe $H$. L'autre groupe de Schützenberger est le groupe des multiplications à droite ${\delta }_t:h\mapsto th$.

Exemples

Toute $\mathscr{H}$-classe $H$ a la même cardinalité que son groupe de Schützenberger $\mathrm{\Gamma }(H)$. Si $H$ est un sous-groupe maximal d'un monoïde $M$, alors $H$ est une $\mathscr{H}$-classe et est canoniquement isomorphe à son groupe de Schützenberger.

Applications

Un certain nombre de propriétés algébriques des monoïdes se reflètent dans leur groupe de Schützenberger. Ainsi, un monoïde qui a un nombre fini d'idéaux à gauche et à droite est finiment présenté, ou simplement finiment engendré si et seulement si tous ses groupes de Schützenberger le sont.