Groupe hopfien

En mathématiques, un groupe hopfien ou groupe de Hopf est un groupe $G$ pour lequel tout épimorphisme $G\to G$ est un isomorphisme. Le groupe des nombres rationnels est hopfien, le groupe des nombres réels ne l’est pas. Les groupes de Hopf sont nommés d'après le mathématicien Heinz Hopf.

Formulations équivalentes

Un groupe est hopfien si et seulement s'il n'est pas isomorphe à l'un de ses sous-groupes quotients propres. Par ailleurs, un groupe $G$ est dit Modèle:Lien si tout monomorphisme $G\to G$ est un isomorphisme.

Exemples de groupes hopfiens

• Tout groupe fini , par un argument de comptage simple.
• Plus généralement, un « Modèle:Lien », c'est-à-dire un groupe qui a un sous-groupe polycyclique d'indice fini.
• Tout groupe libre finiment engendré.
• Le groupe $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels.
• Tout groupe finiment engendré qui soit résiduellement fini.
• Tout groupe hyperbolique.
• Le groupe de Cremona.

Exemples de groupes non hopfiens

• Les groupes de Prüfer.
• Le groupe $ℝ$ des nombres réels
• Le groupe de Baumslag-Solitar B(2,3).

Indécidabilité

En 1969, Donald J. Collins a démontré qu'il est indécidable si un groupe, donné par une présentation finie, est hopfien. Contrairement à l'indécidabilité de beaucoup d'autres propriétés des groupes, ceci n’est pas une conséquence du Modèle:Lien; en effet, la propriété d'être hopfien n'est pas une propriété de Markov, comme démontré par Miller et Paul Schupp

Notes et références

Notes Modèle:Références Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Christophe Moioli, Graphes de groupes et groupes co-hopfiens, Théorie des groupes, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2013.

Liens externes

• page sur PlanetMath
• page sur l'Encyclopédie des Mathématiques
• Groupe isomorphe à un sous-groupe sur Les mathématiques.net