Heptadécagone

Un heptadécagone est un polygone à 17 sommets, donc 17 côtés et 119 diagonales.

La somme des angles internes d'un heptadécagone non croisé vaut Modèle:Unité, soit Modèle:Unité

Dans l'heptadécagone régulier convexe, chaque angle interne vaut donc Modèle:Unité, soit environ 158,82°.

Heptadécagones réguliers

Un heptadécagone régulier est un heptadécagone dont les 17 côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a huit : sept étoilés (les heptadécagrammes notés {17/k} pour k de 2 à 8) et un convexe (noté {17}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'heptadécagone régulier ».

Fichier:Regular polygon 17 annotated.svg

L'heptadécagone régulier et ses angles remarquables.

• Les sept heptadécagones réguliers étoilés
• {17/2}
  {17/2}
• {17/3}
  {17/3}
• {17/4}
  {17/4}
• {17/5}
  {17/5}
• {17/6}
  {17/6}
• {17/7}
  {17/7}
• {17/8}
  {17/8}

Construction à la règle et au compas

Fichier:HeptadecagonConstructionAni.gif

Étapes (64) de construction à la règle et au compas de l'heptadécagone par Gauss.

Modèle:Voir aussi L'annonce de la construction à la règle et au compas de l'heptadécagone régulier a été faite par Carl Friedrich Gauss en 1796, et seulement dans un court article, Neue Entdeckungen, paru au numéro 66, du Modèle:Date-, de l'Intelligenzblatt der Allgemeinen Literatur-Zeitung de Iéna. Il fallut attendre cinq ans encore, avec la publication de ses Disquisitiones arithmeticae, pour découvrir la substance de cette construction (à l'article « Modèle:Lang », en fin d'ouvrage).

Le sinus et le cosinus de l'angle $\frac{\pi }{17}$ sont respectivement égaux à :

• $\sin \frac{\pi }{17}=\frac{1}{4}\sqrt{8-\sqrt{2(15+\sqrt{17}-\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{2(34+6\sqrt{17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}-\sqrt{34(17-\sqrt{17})}+8\sqrt{2(17+\sqrt{17})})})}}$ ;
• $\cos \frac{\pi }{17}=\frac{1-\sqrt{17}}{16}+\frac{\sqrt{17-\sqrt{17}}}{8\sqrt{2}}+\frac{1}{8}\sqrt{17+3\sqrt{17}+\frac{1-\sqrt{17}}{\sqrt{2}}\sqrt{17-\sqrt{17}}+4\sqrt{2}\sqrt{17+\sqrt{17}}}$.

Par définition, le problème de la construction de l'heptadécagone régulier revient à chercher les racines complexes du polynôme

$\frac{x^{17}-1}{x-1}=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1.$

On note Modèle:Math, puis on pose Modèle:Math, et Modèle:Math, pour k entre 1 et 16, qui sont donc les racines recherchées. On va construire des sommes de ces racines à partir de périodes qui forment les racines de polynômes du second degré. On considère le tableau suivant, qui donne la valeur de, pour m entre 0 et 15, de 3Modèle:Exp modulo 17 :

$m$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$\vartheta (m)\equiv 3^{m}mod17$	1	3	9	10	13	5	15	11	16	14	8	7	4	12	2	6

On utilise la congruence modulo 3 car ce nombre est une racine primitive de 17.

On pose donc les sommes :

$X_1=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{m\in 1,\dots ,16}{m\text{pair}}}{\theta }_{\vartheta (m)}={\omega }_1+{\omega }_9+{\omega }_{13}+{\omega }_{15}+{\omega }_{16}+{\omega }_8+{\omega }_4+{\omega }_2$

$X_2=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{m\in 1,\dots ,16}{m\text{impair}}}{\theta }_{\vartheta (m)}={\omega }_3+{\omega }_{10}+{\omega }_5+{\omega }_{11}+{\omega }_{14}+{\omega }_7+{\omega }_{12}+{\omega }_6$

$Y_1=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{m\in 1,\dots ,16}{m\equiv 0mod4}}{\theta }_{\vartheta (m)}={\omega }_1+{\omega }_{13}+{\omega }_{16}+{\omega }_4$

$Y_2=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{m\in 1,\dots ,16}{m\equiv 2mod4}}{\theta }_{\vartheta (m)}={\omega }_9+{\omega }_{15}+{\omega }_8+{\omega }_2$

$Y_3=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{m\in 1,\dots ,16}{m\equiv 1mod4}}{\theta }_{\vartheta (m)}={\omega }_3+{\omega }_5+{\omega }_{14}+{\omega }_{12}$

$Y_4=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{m\in 1,\dots ,16}{m\equiv 3mod4}}{\theta }_{\vartheta (m)}={\omega }_{10}+{\omega }_{11}+{\omega }_7+{\omega }_6$

Par les propriétés de symétrie, on peut observer que :

$X_1=2(\cos \alpha +\cos 8\alpha +\cos 4\alpha +\cos 2\alpha ),X_2=2(\cos 3\alpha +\cos 7\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha )$

$Y_1=2(\cos \alpha +\cos 4\alpha ),Y_2=2(\cos 8\alpha +\cos 2\alpha )$

$Y_3=2(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha ),Y_4=2(\cos 7\alpha +\cos 6\alpha )$

On peut remarquer, par les identités trigonométriques usuelles, que :

$X_1+X_2=\sum _{k=1}^{16}{\omega }_k=\sum _{k=1}^{8}2\cos k\alpha =-1$

$\begin{array}{ccc}{X}_1{X}_2& =& 4(\cos \alpha +\cos 8\alpha +\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 7\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha )\\ & =& 4(\cos \alpha \cos 3\alpha +\cos \alpha \cos 7\alpha +\cos \alpha \cos 5\alpha +\cos \alpha \cos 6\alpha \\ & & +\cos 8\alpha \cos 3\alpha +\cos 8\alpha \cos 7\alpha +\cos 8\alpha \cos 5\alpha +\cos 8\alpha \cos 6\alpha \\ & & +\cos 4\alpha \cos 3\alpha +\cos 4\alpha \cos 7\alpha +\cos 4\alpha \cos 5\alpha +\cos 4\alpha \cos 6\alpha \\ & & +\cos 2\alpha \cos 3\alpha +\cos 2\alpha \cos 7\alpha +\cos 2\alpha \cos 5\alpha +\cos 2\alpha \cos 6\alpha )\\ & =& 2[(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 6\alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 4\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 5\alpha )\\ & & +(\cos 11\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 15\alpha +\cos \alpha )+(\cos 13\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 14\alpha +\cos 2\alpha )\\ & & +(\cos 7\alpha +\cos \alpha )+(\cos 11\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 9\alpha +\cos \alpha )+(\cos 10\alpha +\cos 2\alpha )\\ & & +(\cos 5\alpha +\cos \alpha )+(\cos 9\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 4\alpha )]\\ & =& 2[(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 6\alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 4\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 5\alpha )\\ & & +(\cos 6\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 2\alpha +\cos \alpha )+(\cos 4\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 3\alpha +\cos 2\alpha )\\ & & +(\cos 7\alpha +\cos \alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos \alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 2\alpha )\\ & & +(\cos 5\alpha +\cos \alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 4\alpha )]\\ & =& 8\sum _{k=1}^8\cos k\alpha \\ & =& -4.\end{array}$

Ainsi, XModèle:Ind et XModèle:Ind sont les deux racines de Modèle:Math, et une étude rapide de signe montre que XModèle:Ind est la racine positive, et Modèle:Math.

De même, on peut montrer que YModèle:Ind et YModèle:Ind sont les deux racines de Modèle:Math, avec Modèle:Math, et que YModèle:Ind et YModèle:Ind sont les deux racines de Modèle:Math, avec Modèle:Math.

Enfin, on peut vérifier que Modèle:Math et Modèle:Math sont les deux racines de Modèle:Math, avec Modèle:Math.

Il suffit dès lors de résoudre les équations du second degré et de ne retenir que les racines adéquates pour obtenir le résultat voulu. Modèle:Démonstration/fin

On peut déduire des calculs précédents une construction de l'heptadécagone régulier à partir d'un cercle donné de centre O:

• poser A et B sur le cercle tel que $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\frac{\pi }{2}$
• construire I tel que OI = Modèle:SfracOB
• construire E sur [OA] tel que $(\overrightarrow{IO},\overrightarrow{IE})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{IO},\overrightarrow{IA})$
• construire F sur (OA) tel que $(\overrightarrow{IE},\overrightarrow{IF})=-\frac{\pi }{4}$
• construire le cercle de diamètre AF, il coupe [OB] en K
• le cercle de centre E et de rayon EK coupe (OA) en NModèle:Ind et NModèle:Ind, avec NModèle:Ind sur [OA]
• on construit PModèle:Ind et PModèle:Ind, les projetés de NModèle:Ind et NModèle:Ind sur le cercle d'origine. Ces deux points sont deux sommets de l'heptadécagone, car $O{N}_3=\cos (6\pi /17)$ et $O{N}_5=\cos (10\pi /17)$

Voir aussi

• Modèle:MathWorld
• Modèle:MathWorld