Hiérarchie BBGKY

La hiérarchie BBGKY (pour les initiales de : Bogolioubov, Born, Green, Kirkwood et Yvon) est une méthode permettant d'exprimer l'équation descriptive de la fonction de distribution d'un système à N corps sous forme d'une série d'équations de rang plus faible et ainsi de permettre diverses approximations.

Auteurs

Plusieurs physiciens ont publié des travaux qui ont conduit à ce que l'on appelle aujourd'hui la hiérarchie BBGKY. Ce sont dans l'ordre alphabétique :

B	Nikolaï BogolioubovModèle:, (1946)
BG	Max Born et Herbert Green (1946)
K	John Kirkwood (1946)
Y	Jacques Yvon (1935)

Yvon a développé en 1935 la notion de fonction de distribution à N particules. En 1946 divers physiciens ont publié des résultats utilisant la méthode décrite ici.

Formulation

L'évolution d'un système classique constitué de N particules est donné par l'évolution de la fonction de distribution :

$f_N=f_N({𝐪}_1\dots {𝐪}_N,{𝐩}_1\dots {𝐩}_N,t)$

où les q_i sont les coordonnées généralisées du système et les p_i les quantités de mouvement de chaque particule. Il y a donc 6N variables dans un espace tridimensionnel.

Cette évolution est donnée par l'équation de Liouville :

$\frac{\partial f_N}{\partial t}+\sum _{i=1}^N{\dot{𝐪}}_i\frac{\partial f_N}{\partial {𝐪}_i}-\sum _{i=1}^N(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_i^{ext}}{\partial {𝐪}_i}+\sum _{j=1}^N\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_{ij}}{\partial {𝐪}_i})\frac{\partial f_N}{\partial {𝐩}_i}=0$

où

${\mathrm{\Phi }}_{ij}$	est le potentiel d'interaction des particules i et j,
${\mathrm{\Phi }}_i^{ext}$	un éventuel potentiel externe.

On définit à présent des fonctions de distribution pour des ensembles de 2, 3..., s particules :

$f_s=f_s({𝐪}_1\dots {𝐪}_s,{𝐩}_1\dots {𝐩}_s,t)$

En intégrant par parties l'équation de Liouville on obtient une hiérarchie d'équations pour chacun des ensembles :

$\frac{\partial f_s}{\partial t}+\sum _{i=1}^s{\dot{𝐪}}_i\frac{\partial f_s}{\partial {𝐪}_i}-\sum _{i=1}^s(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_i^{ext}}{\partial {𝐪}_i}+\sum _{j=1}^s\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_{ij}}{\partial {𝐪}_i})\frac{\partial f_s}{\partial {𝐩}_i}=(N-s)\sum _{i=1}^s\frac{\partial }{\partial {𝐩}_i}\int \frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_{is+1}}{\partial {𝐪}_i}{f}_{s+1}d{𝐪}_{s+1}d{𝐩}_{s+1}$

Chaque équation sur f_s fait apparaître au second membre toutes les fonctions de distribution d'ordre plus élevé. Telle quelle cette équation est équivalente à la précédente. Son intérêt est de permettre une troncation à l'ordre s en supposant que l'on sait exprimer f_s+1 en fonction des termes de rang inférieur. Un exemple est l'équation de Vlassov dans laquelle on s'arrête à l'ordre 1 et on effectue une approximation de champ moyen :

$f_2({𝐪}_1,{𝐪}_2,{𝐩}_1,{𝐩}_2,t)\simeq f_1({𝐪}_1,{𝐩}_1,t)f_1({𝐪}_2,{𝐩}_2,t)$.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Équation de Boltzmann
• Équation de Fokker-Planck