Homologie des groupes

Modèle:Voir homonymie Modèle:Ébauche En algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe.

Pour un groupe G, on note ℤ[G] l'algèbre du groupe G sur l'anneau des entiers relatifs ℤ.

Soient alors M un ℤ[G]-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et $ϵ:F_{\ast }\to M\to 0$ une résolution projective de M.

Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par :

$H_i(G;M)=H_i(F_{\ast }{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}\mathbb{Z})$

De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par :

$H^i(G;M)=H^i({\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},F^{\ast }))$

où $0\to M\to F^{\ast }$ est une résolution injective de M. Un résultat standard d'algèbre homologique montre que ces constructions sont indépendantes des résolutions $F_{\ast }$ et $F^{\ast }$ choisies.

Voir aussi

Articles connexes

• HModèle:Ind(G, ℤ) : Abélianisé
• HModèle:Ind(G, ℤ) : Multiplicateur de Schur
• Modèle:Lien
• Cohomologie des groupes profinis

Lien externe

Nicolas Babois, La naissance de la cohomologie des groupes (thèse), Université de Nice, 2009 Modèle:Palette Modèle:Portail