Multiplicateur de Schur

En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G à coefficients entiers,

$H_2(G,\mathbb{Z})$.

Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et d'un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que

$G\simeq F/R$,

alors, par la formule d'homologie entière de Hopf, le multiplicateur de Schur est isomorphe à

$(R\cap [F,F])/[F,R]$,

où [A, B] est le sous-groupe engendré par les commutateurs abaModèle:-1bModèle:-1 pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme

$H^2(G,{ℂ}^{\times })$

où G agit trivialement sur le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls.

Les multiplicateurs de Schur sont d'un intérêt particulier lorsque G est un groupe parfait (un groupe égal à son sous-groupe dérivé). Un groupe G possède une extension centrale universelle (Modèle:C.-à-d. initiale – donc unique) p : E → G si et seulement s'il est parfait. De plus, E est alors lui aussi parfait et ker(p) est le multiplicateur de Schur de G. Plus explicitement, si le groupe parfait G a une présentation F/R comme ci-dessus, son extension centrale universelle est

$1\to (R\cap [F,F])/[F,R]\to [F,F]/[F,R]\to G\to 1$.

L'étude du multiplicateur de Schur, due à Issai SchurModèle:,Modèle:,, peut être considérée comme le début de la cohomologie des groupes.

Exemple

Le groupe alterné Modèle:Math est parfait si Modèle:Math (car simple et non abélien). Son multiplicateur de Schur est :

$H_2({\mathrm{A}}_n,\mathbb{Z})=\{\begin{array}{cc}0& \text{ si }n=1,2\text{ ou }3,\\ \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}& \text{ si }n=6\text{ ou }7,\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}& \text{ sinon.}\end{array}$

La représentation standard Modèle:Math produit, par restriction de l'extension centrale Modèle:Math, une extension centrale

$0\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \widetilde{{\mathrm{A}}_n}\to {\mathrm{A}}_n\to 1$

qui, si Modèle:Math, est l'extension centrale universelle de Modèle:Math.

Notes et références

• Modèle:En Gregory Karpilovsky, The Schur Multiplier, Oxford University Press, 1987 Modèle:ISBN