Homomorphisme du flux

Modèle:À sourcer En géométrie symplectique, l’homomorphisme du flux est un homomorphisme du revêtement universel de la composante neutre du groupe des symplectomorphismes d'une variété symplectique compacte $(M,\omega )$ dans le premier groupe de cohomologie de M à coefficients réels :

$Flux:\widehat{Sym{p}_0}(M,\omega )\to H^1(M,𝐑)$.

Si $\mathrm{\Psi }$ est un arc différentiable de symplectomorphismes, on définit :

$X_t\circ {\mathrm{\Psi }}_t=\frac{d}{dt}{\mathrm{\Psi }}_t$.

$X_t$ est un champ localement hamiltonien, ie $\iota (X_t)\omega$ est une 1-forme différentielle fermée sur M. En définissant $H^1(M,𝐑)$ comme le premier groupe de cohomologie du complexe de Rham, on pose :

$Flux(\mathrm{\Psi })=\int [\iota (X_t)\omega ]dt$.

En tant que groupe commutatif, $H^1(M,𝐑)$ est isomorphe au groupe des homomorphismes ${\pi }_1(M)\to ℝ$. L'élément $Flux(\mathrm{\Psi })$ peut se redéfinir comme suit :

$Flux(\mathrm{\Psi })(\alpha )=\underset{\mathrm{\Psi }\alpha }{\int }\omega$.

où $\mathrm{\Psi }\alpha$ désigne l'application ${𝐓}^2\to M$ définie par :

$\mathrm{\Psi }\alpha (t,s)={\mathrm{\Psi }}_t[\alpha (t)]$.

Il a été démontré que $Flux(\mathrm{\Psi })$ est nul ssi $\mathrm{\Psi }$ est isotope à extrémité fixé à un flot hamiltonien. En particulier, dans ce cas, ${\mathrm{\Psi }}_1$ est un difféomorphisme hamiltonien.

L'image du groupe fondamental de $Sym{p}_0(M,\omega )$ sous l'homomorphisme du Flux est un sous-groupe de $H^1(M,\omega )$ appelé le groupe de Calabi $\mathrm{\Gamma }$.