Icosaèdre tronqué

LModèle:'icosaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Il comprend 12 faces pentagonales régulières, 20 faces hexagonales régulières, 60 sommets et 90 arêtes.

Construction

Troncature de l'icosaèdre

Ce polyèdre peut être construit à partir d'un icosaèdre (solide formé de 20 faces triangulaires régulières) avec une troncature des 12 sommets telle qu'un tiers de chaque arête est enlevé à chaque extrémité. Ceci crée 12 nouvelles faces pentagonales, et remplace les 20 faces triangulaires d'origine par des hexagones réguliers. Ainsi, la longueur des arêtes est un tiers de la longueur des arêtes originales.

Coordonnées canoniques

Les coordonnées canoniques pour les sommets d'un icosaèdre tronqué centré à l'origine sont respectivement les rectangles orthogonaux, les pavés orthogonaux, puis le long des pavés orthogonaux :

$(0,\pm 1,\pm 3\phi ),(\pm 1,\pm 3\phi ,0),(\pm 3\phi ,0,\pm 1)$

$(\pm 2,\pm (1+2\phi ),\pm \phi ),(\pm (1+2\phi ),\pm \phi ,\pm 2),(\pm \phi ,\pm 2,\pm (1+2\phi ))$

$(\pm 1,\pm (2+\phi ),\pm 2\phi ),(\pm (2+\phi ),\pm 2\phi ,\pm 1),(\pm 2\phi ,\pm 1,\pm (2+\phi ))$

où $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est le nombre d'or. En utilisant ${\phi }^2=\phi +1$, on vérifie que tous ces sommets sont sur une sphère de rayon $\sqrt{9\phi +10}$, centrée à l'origine et les arêtes ont une longueur 2.

Relations géométriques

L'icosaèdre tronqué vérifie facilement la caractéristique d'Euler :

32 + 60 − 90 = 2.

Avec des arêtes égales à l'unité, la surface est (arrondie) de 21 pour les pentagones et 52 pour les hexagones, faisant 73 en tout (voir aires des polygones réguliers).

Applications

Comparé à un ballon de football.

Un ballon de football comprend le même motif de pentagones réguliers et d'hexagones réguliers, mais est plus sphérique en raison de la pression du gonflage et de l'élasticité de la matière avec laquelle on fabrique la balle.

Cette forme fut aussi la configuration des lentilles utilisées pour concentrer les ondes de choc d'explosion des détonateurs dans les bombes atomiques Gadget et Fat Man.

L'icosaèdre tronqué est aussi utilisé comme un modèle de la molécule de buckminsterfullerène (CModèle:Ind). Les diamètres du ballon de football et de la molécule de buckminsterfullerène sont respectivement de Modèle:Unité et d'environ 1 nm, par conséquent, le rapport de taille est de 200 000 000 pour 1.

L'icosaèdre tronqué dans les arts

Dessin de Léonard de Vinci, dans Modèle:Langue de Luca Pacioli.

Un icosaèdre tronqué avec des « arêtes solides » est un dessin de Léonard de Vinci, illustrant le livre Modèle:Langue de Luca Pacioli.

Patron de l'icosaèdre tronqué

Voir aussi

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Dodécaèdre
• Dodécaèdre tronqué
• Fullerène
• Icosidodécaèdre
• Polyèdre uniforme
• Triacontaèdre rhombique tronqué

Liens externes

• Modèle:Lien web
• Modèle:MathWorld
• Modèle:En Patron en papier d'un icosaèdre tronqué
• Modèle:En Icosaèdre tronqué bondissant Réalité virtuelle (JVM nécessaire)

Bibliographie

Modèle:En Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979 Modèle:ISBN