Identités vectorielles

Dans cet article, on note $\times$ pour le produit vectoriel et · pour le produit scalaire.

Les identités suivantes peuvent être utiles en analyse vectorielle.

• $𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)=𝐛\cdot (𝐜\times 𝐚)=𝐜\cdot (𝐚\times 𝐛)$
• $𝐚\times (𝐛\times 𝐜)=(𝐜\times 𝐛)\times 𝐚=𝐛(𝐚\cdot 𝐜)-𝐜(𝐚\cdot 𝐛)$
• $(𝐚\times 𝐛)\cdot (𝐜\times 𝐝)=(𝐚\cdot 𝐜)(𝐛\cdot 𝐝)-(𝐚\cdot 𝐝)(𝐛\cdot 𝐜)$ (Identité de Binet-Cauchy)
• $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\psi )=\mathrm{𝟎}$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)=0$
• $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐕$
• $\mathrm{\nabla }(\psi \varphi )=(\mathrm{\nabla }\psi )\varphi +(\mathrm{\nabla }\varphi )\psi$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (\psi 𝐕)=(\mathrm{\nabla }\psi )\cdot 𝐕+(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕)\psi$
• $\mathrm{\nabla }\times (\psi 𝐕)=(\mathrm{\nabla }\psi )\times 𝐕+(\mathrm{\nabla }\times 𝐕)\psi$
• $\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$
• $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\cdot 𝐁-𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)$
• $\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)=(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)𝐀-(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$
• Modèle:Référence nécessaire
• $(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁-(𝐀\times \mathrm{\nabla })\times 𝐁=(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)𝐀-𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)$
• $\mathrm{\nabla }({𝐕}^2/2)=(𝐕\cdot \mathrm{\nabla })𝐕+𝐕\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)$
• $\mathrm{\nabla }({𝐕}^2/2)=(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕)𝐕+(𝐕\times \mathrm{\nabla })\times 𝐕$

Identités vectorielles générales

Dans cette section, a, b, c et d représentent des vecteurs quelconques de ${ℝ}^n$.

Conventions d'écriture

Dans cet article, les conventions suivantes sont utilisées; à noter que la position (levée ou abaissée) des indices n'a pas, ici, beaucoup d'importance étant donné que l'on travaille dans un contexte euclidien. Cela permet néanmoins de retrouver plus directement les couplages (un indice supérieur s'associant avec un indice inférieur).

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est noté

$𝐚\cdot 𝐛$

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

$𝐚\cdot 𝐛=a_i{b}^i=a^i{b}_i$

Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est noté

$𝐚\times 𝐛$

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

$(𝐚\times 𝐛{)}_i={{ϵ}_i}^{jk}{a}_j{b}_k$

Symbole de Levi-Civita

Une identité revenant souvent dans les démonstrations utilisant la convention de sommation d'Einstein est la suivante :

${{ϵ}_{ij}}^k{{ϵ}_k}^{lm}={\delta }_i^l{\delta }_j^m-{\delta }_i^m{\delta }_j^l$

Avec $\delta$ le symbole de Kronecker et $ϵ$ le symbole de Levi-Civita.

Triples produits

On a le résultat suivant sur le produit mixte :

• $𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)=𝐛\cdot (𝐜\times 𝐚)=𝐜\cdot (𝐚\times 𝐛)$

• L'identité du double produit vectoriel :

$𝐚\times (𝐛\times 𝐜)=(𝐜\times 𝐛)\times 𝐚=𝐛(𝐚\cdot 𝐜)-𝐜(𝐚\cdot 𝐛)$

La première égalité découle des propriétés du produit vectoriel : $(𝐚\times 𝐛)=-(𝐛\times 𝐚)$. La seconde est démontrée ci-dessous.

Autres produits

L'identité de Binet-Cauchy :

$(𝐚\times 𝐛)\cdot (𝐜\times 𝐝)=(𝐚\cdot 𝐜)(𝐛\cdot 𝐝)-(𝐚\cdot 𝐝)(𝐛\cdot 𝐜)$

à noter que l'on retrouve l'identité de Lagrange si a=c et si b=d.

Opérateurs

Cette section fournit une liste explicite de la signification des symboles utilisés pour plus de clarté.

Divergence

Divergence d'un champ vectoriel

Pour un champ vectoriel $𝐕$, on écrit généralement la divergence comme suit :

$𝐝𝐢𝐯(𝐕)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕$

C'est un champ scalaire.

En convention de sommation d'Einstein la divergence d'un champ vectoriel s'écrit :

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕={\partial }_i{V}^i$

Divergence d'un tenseur

Pour un tenseur $𝔗$ , on écrit généralement la divergence comme suit :

$𝐝𝐢𝐯(𝔗)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝔗$

Comme la divergence réduit de 1 l'ordre du tenseur, si $𝔗$ est d'ordre 2, on aurait un vecteur qui est un tenseur d'ordre 1.

Rotationnel

Pour un champ de vecteurs $𝐕$, on écrit généralement le rotationnel comme suit :

$𝐫𝐨𝐭(𝐕)=\mathrm{\nabla }\times 𝐕$

C'est également un champ de vecteurs.

En convention de sommation d'Einstein le rotationnel d'un champ vectoriel s'écrit :

$(\mathrm{\nabla }\times 𝐕{)}_i={{ϵ}_i}^{jk}{\partial }_j{V}_k$

Gradient

Gradient d'un champ vectoriel

Pour un champ de vecteurs $𝐕$, on écrit généralement le gradient comme suit :

$𝐠𝐫𝐚𝐝(𝐕)=\mathrm{\nabla }𝐕$

C'est un tenseur.

Gradient d'un champ scalaire

Pour un champ scalaire $\psi$, on écrit généralement le gradient comme suit :

$𝐠𝐫𝐚𝐝(\psi )=\mathrm{\nabla }\psi$

C'est un champ de vecteurs.

En convention de sommation d'Einstein le gradient d'un champ scalaire s'écrit :

$(\mathrm{\nabla }\psi {)}_i={\partial }_i\psi$

Combinaisons d'opérateurs

Diagramme des principales relations entre opérateurs.

Rotationnel du gradient

Le rotationnel du gradient de n'importe quel champ scalaire $\psi$ est toujours nul :

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\psi )=\mathrm{𝟎}$

Divergence du rotationnel

La divergence du rotationnel de n'importe quel champ de vecteurs $𝐕$ est toujours nulle :

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)=0$

Laplacien

Laplacien d'un champ scalaire

Le laplacien d'un champ scalaire $\psi$ est défini comme la divergence du gradient :

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\psi )={\mathrm{\nabla }}^2\psi$

C'est un champ scalaire.

En convention de sommation d'Einstein, le Laplacien d'un champ scalaire se note comme suit :

${\mathrm{\nabla }}^2\psi ={\partial }_i{\partial }^i\psi$

Laplacien d'un champ vectoriel

Le laplacien vectoriel d'un champ de vecteurs est le champ de vecteurs dont les composantes sont les laplaciens des composantes.

En convention de sommation d'Einstein cela se note :

$({\mathrm{\nabla }}^2𝐕{)}_i={\mathrm{\nabla }}^2(V_i)={\partial }_j{\partial }^j(V_i)$

Rotationnel du rotationnel

Modèle:Article principal Le rotationnel du rotationnel d'un champ de vecteurs $𝐕$ est donné par :

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐕$

Produit vectoriel du champ par son rotationnel

Le produit vectoriel du champ $𝐕$ par son rotationnel est donné par :

$𝐕\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)=\mathrm{\nabla }\left(\frac{{𝐕}^2}{2}\right)-(𝐕\cdot \mathrm{\nabla })𝐕$

Autres identités impliquant des opérateurs

Dans cette section, $\psi$ et $\varphi$ représentent des champs scalaires, $𝐕,𝐀$ et $𝐁$ représentent des champs vectoriels.

• $\mathrm{\nabla }(\psi \varphi )=(\mathrm{\nabla }\psi )\varphi +(\mathrm{\nabla }\varphi )\psi$

Cette relation découle immédiatement de la règle du produit.

• $\mathrm{\nabla }\cdot (\psi 𝐕)=(\mathrm{\nabla }\psi )\cdot 𝐕+(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕)\psi$

• $\mathrm{\nabla }\times (\psi 𝐕)=(\mathrm{\nabla }\psi )\times 𝐕+(\mathrm{\nabla }\times 𝐕)\psi$

Gradient d'un produit scalaire

• $\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$

Divergence d'un produit vectoriel

• $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\cdot 𝐁-𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)$

Rotationnel d'un produit vectoriel

• $\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)=(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)𝐀-(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁$

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