Règle du produit

Modèle:Homon Modèle:Sources En analyse mathématique, la règle du produit, aussi appelée règle de Leibniz, est une formule utilisée afin de trouver les dérivées de produits de fonctions. Sous sa forme la plus simple, elle s'énonce ainsi : Modèle:Énoncé

En notation de Leibniz, cette formule s'écrit :

\frac{d (f g)}{d x} (x) = \frac{d f}{d x} (x) g (x) + f (x) \frac{d g}{d x} (x)

Une application importante de la règle du produit est la méthode d'intégration par parties.

Exemple

Soit $h : ℝ \to ℝ$ la fonction définie par :

h (x) = (x + 1) (x^{2} + 1)

Pour trouver sa dérivée $h^{'}$ avec la règle du produit, on pose $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x^{2} + 1$ . Les fonctions $h$ , $f$ et $g$ sont partout dérivables car polynomiales.

On trouve ainsi :

\begin{matrix} \forall x \in ℝ h^{'} (x) & = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) \\ = (x^{2} + 1) + (x + 1) (2 x) \\ = 3 x^{2} + 2 x + 1 . \end{matrix}

On peut le vérifier en développant d'abord l'expression de Modèle:Math : Modèle:Nobr puis en dérivant cette somme terme à terme : on retrouve bien Modèle:Nobr

Démonstration de la règle du produit

Démonstration analytique

Une preuve de la règle du produit peut être donnée en utilisant les propriétés des limites et la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement^[1].

Démonstration simplifiée, et illustrée géométriquement

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables en $x$ . Définissant $u = f (x)$ et $v = g (x)$ , l'aire $u v$ du rectangle (cf. Figure 1) représente $f (x) g (x)$ .

Si $x$ varie d'une quantité $Δ x$ , les variations correspondantes en $u$ et $v$ sont désignées par $Δ u$ et $Δ v$ .

La variation de l'aire du rectangle est alors :

\begin{matrix} Δ (u v) & = (u + Δ u) (v + Δ v) - u v \\ = (Δ u) v + u (Δ v) + (Δ u) (Δ v), \end{matrix}

c'est-à-dire la somme des trois zones ombrées sur la Figure 1 ci-contre.

En divisant par $Δ x$ :

\frac{Δ (u v)}{Δ x} = (\frac{Δ u}{Δ x}) v + u (\frac{Δ v}{Δ x}) + (\frac{Δ u}{Δ x}) (\frac{Δ v}{Δ x}) Δ x .

En prenant la limite quand $Δ x \to 0$ , on obtient :

\frac{d}{d x} (u v) = (\frac{d u}{d x}) v + u (\frac{d v}{d x}) .

Généralisations

Produit de plusieurs fonctions

Modèle:Énoncé

Cette relation peut être démontrée par récurrence.

Modèle:Démonstration

Modèle:Exemple

Dérivées d'ordre supérieur (règle de Leibniz)

La règle du produit peut aussi être généralisée en la règle de Leibniz pour la dérivation d'ordre supérieur d'un produit de deux fonctions d'une variable réelle^[2].

Modèle:Énoncé

Cette formule se démontre par récurrence sur $n$ ^[3]. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton.

On peut aussi démontrer la formule de Leibniz en utilisant un développement de Taylor-Young.

Dérivées d'ordre supérieur d'un produit de plusieurs fonctions

La formule suivante généralise simultanément les deux précédentes :

{(\prod_{i = 1}^{m} f_{i})}^{(n)} = \sum_{k_{1} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) \prod_{i = 1}^{m} f_{i}^{(k_{i})}

,

où les entiers

(\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{\prod_{i = 1}^{m} k_{i}!}

sont les coefficients multinomiaux. La preuve peut se faire par récurrence sur m, le nombre de fonctions considérées, en utilisant la formule (qui se réduit à la formule de Leibniz) au rang m=2.

Dimensions supérieures

La règle du produit s'étend à des fonctions de plusieurs variables réelles (définies sur ℝⁿ) ou plus généralement, des fonctions dont la variable est un vecteur : Modèle:Énoncé

On dispose de résultats analogues pour les dérivées directionnelles et les dérivées partielles.

Fonctions holomorphes

Par le même calcul que ci-dessus mais en remplaçant la variable réelle par une variable complexe, on démontre la règle suivante pour un produit de fonctions holomorphes.

Modèle:Énoncé

On peut aussi le déduire de la sous-section précédente (pour Modèle:Math = ℂ) et des équations de Cauchy-Riemann.

Autres fonctions, autres produits

Si l'on regarde de près la démonstration de la règle du produit, on se rend compte que l'ingrédient principal, outre la dérivabilité des fonctions, est la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (le fait que Modèle:Nobr). Or les mathématiciens ont pris l'habitude de n'appeler produit que les opérations bénéficiant de cette propriété. Par contre tous les produits ne sont pas commutatifs (Modèle:Nobr quand a et b sont des nombres, mais ce n'est pas vrai pour d'autres produits). On peut donc en toute confiance appliquer la règle du produit à d'autres produits d'autres fonctions que la multiplication de fonctions numériques, mais en prenant garde de bien conserver l'ordre des facteurs quand le produit n'est pas commutatif.

Modèle:Exemple

De même que dans le § « Dimensions supérieures », on peut, dans tous ces exemples, remplacer la variable réelle (« temps ») par une variable vectorielle.