Intégrale de Volkenborn

Modèle:À désacadémiser En mathématiques, dans le domaine de l'analyse p-adique, l’intégrale de Volkenborn est une méthode d'intégration des fonctions p-adiques.

Définition

Soit $f:{\mathbb{Z}}_p\to {ℂ}_p$ une fonction définie sur les entiers p-adiques à valeurs p-adiques. L'intégrale de Volkenborn est définie par la limite, si elle existe :

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p^n}\sum _{x=0}^{p^n-1}f(x).$

Plus généralement, si

$R_n=\{x=\sum _{i=r}^{n-1}{b}_i{x}^i|b_i=0,\dots ,p-1\text{ for }r<n\}$

alors

$\underset{K}{\int }f(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p^n}\sum _{x\in R_n\cap K}f(x).$

Cette intégrale tient son nom d'Arnt Volkenborn qui l'a définie dans sa thèse.

Exemples

Les quatre exemples ci-dessous se vérifient via la formule de Faulhaber :

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }1\mathrm{d}x=1$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{x}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{6}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{x}^k\mathrm{d}x=B_k$

où $B_k$ est le $k$Modèle:E nombre de Bernoulli.

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})\mathrm{d}x=\frac{(-1{)}^k}{k+1}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }(1+a{)}^x\mathrm{d}x=\frac{\log (1+a)}{a}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{e}^{ax}\mathrm{d}x=\frac{a}{e^a-1}$

Les deux derniers exemples s'obtiennent par développement en série de Taylor puis par intégration terme à terme.

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{\log }_p(x+u)\mathrm{d}u={\psi }_p(x)$

où ${\log }_p$ est le logarithme d'Iwasawa et ${\psi }_p$ la fonction digamma p-adique.

Propriétés

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(x+m)\mathrm{d}x=\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(x)\mathrm{d}x+\sum _{x=0}^{m-1}{f}^{\prime }(x)$

Il en résulte que l'intégrale de Volkenborn n'est pas invariante par translation.

En notant $P^t=p^t{\mathbb{Z}}_p$, on a :

$\underset{P^t}{\int }f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{p^t}\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(p^{t}x)\mathrm{d}x$

Sources

• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, Nr. 4, 1972, [1]
• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, Nr. 1, 1974, [2]
• Henri Cohen, "Number Theory", Volume II, page 276