Fonction exponentielle p-adique

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse p-adique, la fonction exponentielle p-adique est un analogue p-adique de la fonction exponentielle usuelle sur les nombres complexes. Comme dans le cas complexe, elle admet une réciproque, appelée logarithme p-adique.

Définition

La fonction exponentielle usuelle sur $ℂ$ est définie par la série entière

$\exp (z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$

De manière tout à fait analogue, on définit la fonction exponentielle sur ${ℂ}_p$, la complétion de la clôture algébrique de ${\mathbb{Q}}_p$, par

${\exp }_p(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$

Cependant, contrairement à $\exp$ qui converge sur tout $ℂ$, ${\exp }_p$ ne converge que sur le disque $|z{|}_p<p^{-1/(p-1)}.$

En effet, une série p-adique converge si et seulement si le terme général tend vers 0, et puisque $n!$ tend à rendre la norme p-adique grande (voir la formule de Legendre), il est nécessaire de contrôler la valuation de z.

Fonction logarithme p-adique

La série entière

$\log (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n},$

converge pour x dans ${ℂ}_p$ satisfaisant $|x{|}_p<1$, et définit ainsi la fonction logarithmique p-adique ${\log }_p(z)$ pour $|z-1{|}_p<1$, vérifiant ${\log }_p(z{z}^{\prime })={\log }_p(z)+{\log }_p(z^{\prime })$. La fonction ${\log }_p$ peut être étendue à l'ensemble des éléments non nuls de ${ℂ}_p$ en imposant ${\log }_p(p)=0$. Plus précisément, chaque élément $w$ de ${ℂ}_p^{*}$ peut s'écrire $w=p^r\cdot \zeta \cdot z$ avec r un nombre rationnel, ζ une racine de l'unité, et |z − 1| p < 1, auquel cas ${\log }_p(w)={\log }_p(z)$. Ce prolongement est parfois appelé logarithme d'Iwasawa pour souligner le choix du ${\log }_p(p)=0$. En fait, il existe un prolongement du logarithme de $|z-1{|}_p<1$ à tout ${ℂ}_p^{*}$ pour chaque choix de ${\log }_p(p)$ dans ${ℂ}_p$.

Propriétés

Si les exponentielles p-adique de z et w sont définies, alors celle de leur somme l'est aussi et on a : ${\exp }_p(z+z^{\prime })={\exp }_p(z)\cdot {\exp }_p(z^{\prime })$.

Pour z dans le domaine de définition de ${\exp }_p$, on ${\exp }_p({\log }_p(1+z))=1+z$ et ${\log }_p({\exp }_p(z))=z$.

Les racines du logarithme d'Iwasawa ${\log }_p(z)$ sont exactement les éléments de ${ℂ}_p$ de la forme p^r·ζ où r est un nombre rationnel et ζ une racine de l'unité.

Notons qu'il n'existe pas d'analogue p-adique de l'identité d'Euler $e^{2\pi i}=1$. C'est un corollaire du Modèle:Lien.

Une dernière différence fondamentale avec le cas complexe est que le domaine de convergence de ${\exp }_p$ est bien plus petit que celui de ${\log }_p$. Une fonction exponentielle modifiée — la Modèle:Lien — converge sur $|z{|}_p<1$.

Notes et références

Références

• Chapitre 12 de Modèle:Ouvrage
•  Modèle:Ouvrage