Inégalité d'interpolation de Gagliardo-Nirenberg

En mathématiques, l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg est une estimation portant sur les dérivées faibles d'une fonction donnée. Elle fait intervenir les normes $L^p$ de la fonction ainsi que ses dérivées. C'est un résultat particulièrement important de la théorie des équations aux dérivées partielles. Cette inégalité a été proposée par Louis Nirenberg et Emilio Gagliardo.

Énoncé

Soient $u:{ℝ}^n\to ℝ$ une [[Fonction C∞ à support compact|fonction CModèle:Exp à support compact]], deux réels $1\le q,r\le \mathrm{\infty }$ et un entier $m$. Soient $\alpha$ un réel et $j$ un entier naturel tels que

$\frac{1}{p}=\frac{j}{n}+(\frac{1}{r}-\frac{m}{n})\alpha +\frac{1-\alpha }{q}$

et

$\frac{j}{m}\le \alpha \le 1.$

Alors, il existe une constante $C$ dépendant de $m,n,j,q,r$ et $\alpha$ telle que

$\Vert {\mathrm{D}}^{j}u{\Vert }_{L^p}\le C\Vert {\mathrm{D}}^{m}u{\Vert }_{L^r}^{\alpha }\Vert u{\Vert }_{L^q}^{1-\alpha }.$

Note

Pour une preuve de cette inégalité, voir théorème 9.3. La première condition sur $\alpha$ est l'homogénéité en $x$. La seconde condition exprime qu'à homogénéité fixée, $j$ ne peut pas dépasser la valeur d'interpolation avec $\alpha$, i.e. $j\le \alpha m$. Le cas limite interdit est $p=\mathrm{\infty }$ lorsqu'il a la même homogénéité que $\Vert {\mathrm{D}}^{m}u{\Vert }_{L^r}$, sauf si $r=1$ auquel cas le résultat est trivial (en intégrant $m-j$ fois).

Pour une extension au cas des exposants de dérivation non entiers, voir .

Conséquences

• Pour $\alpha =1$, la norme $L^q$ de $u$ dans le membre de droite de l'inégalité ci-dessous n’apparaît plus. Dans ce cas on retrouve les injections de Sobolev.
• Un autre cas spécial de l'inégalité d'interpolation de Gagliardo–Nirenberg est l'Modèle:Lien, qui s'obtient pour $m=1,$ $j=0,$ $n=2$ ou $3,$ $q=r=2,$ et $p=4$.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:En L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010, 2nd edition
• Modèle:En Luc Tartar, An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation spaces, Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana, vol 3, Springer, 2007, 1st edition
• Modèle:En Robert A. Adams et John J. F. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003, Modèle:2e édition

Articles connexes

• Espace d'interpolation
• Espace de Sobolev