Inégalité de Kunita-Watanabe

En calcul stochastique, l'inégalité de Kunita-Watanabe est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux intégrales de processus stochastiques. Elle a été formulée pour la première fois par Hiroshi Kunita et Shinzo Watanabe ; elle joue un rôle déterminant dans l'extension de l'intégrale stochastique d'Ito aux martingales de au carré intégrables.

Énoncé du théorème

Soient M, N des martingales locales continues et soient H, K des processus mesurables . Alors on a l'inégalité :

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left|H_s\right|\left|K_s\right||\mathrm{d}⟨M,N{⟩}_s|\le \sqrt{\underset{0}{\overset{t}{\int }}{H}_s^2\mathrm{d}⟨M{⟩}_s}\sqrt{\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_s^2\mathrm{d}⟨N{⟩}_s}$

où les chevrons indiquent les opérateurs de variation quadratique et de covariation quadratique. Les intégrales s'entendent au sens de Lebesgue-Stieltjes.

Bibliographie

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