Variation quadratique

En mathématiques, la variation quadratique est utilisée dans l'analyse des processus stochastiques, comme le mouvement brownien et autres martingales. La variation quadratique est un type de variation d'un processus.

Définition

Pour un processus quelconque

Si $X_t$ est un processus stochastique à valeurs réelles défini sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ et avec un indice de temps $t$ qui parcourt les nombres réels positifs, sa variation quadratique est le processus, noté $[X{]}_t$, défini par :

$[X{]}_t=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}{)}^2$,

où $P$ parcourt les subdivisions de l'intervalle $[0,t]$ et la norme de la subdivision $P$ est son pas. Cette limite, si elle existe, est définie à l'aide de la convergence en probabilité. Un processus peut avoir une variation quadratique finie au sens de la définition ci-dessus, tout en ayant ses parcours presque sûrement de variation quadratique infinie pour tous les $t>0$, au sens classique où l'on prend la borne supérieure de la somme sur toutes les subdivisions ; c'est notamment le cas du mouvement brownien.

Plus généralement, la covariation de deux processus $X$ et $Y$ est :

$[X,Y{]}_t=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}})=\frac{1}{4}([X+Y{]}_t-[X-Y{]}_t)$.

Pour une martingale

Avec les mêmes hypothèses, si $X_t$ est de plus une martingale, alors $X_t^2$ est une sous-martingale (d'après l'inégalité de Jensen conditionnelle). Par décomposition de Doob-Meyer on peut donc écrire de façon unique $X_t^2=M_t+A_t$ comme la somme d'une martingale $M_t$ et d'un processus prévisible croissant $A_t$. Une définition alternative possible de la variation quadratique (de la martingale $X_t$) est alors :

$[X{]}_t:=A_t$.

Autrement dit, la variation quadratique de $X_t$ est le seul processus prévisible croissant $[X{]}_t$ tel que $X_t^2-[X{]}_t$ soit une martingale. On peut montrer que ces deux définitions sont bien sûr équivalentes quand $X_t$ est une martingale.

Exemples

La variation quadratique d'un mouvement brownien standard est:

$[X{]}_t=t$

Voir aussi

Variation totale