K-théorie de Milnor

La K-théorie de Milnor, théorie mathématique introduite par John Milnor, fait partie des premières tentatives pour définir les groupes de K-théorie algébrique d'ordre supérieur.

Définition

Le calcul du KModèle:Ind d'un corps F a conduit Milnor à la définition ad hoc suivante des K-groupes d'indices supérieurs par

$K_{*}^M(F):=T^{*}{F}^{\times }/(a\otimes (1-a)),$

donc comme le quotient (gradué) de l'algèbre tensorielle du groupe abélien [[Groupe des unités|FModèle:Exp]] par l'idéal bilatère engendré par les a ⊗ (1 – a) pour a ≠ 0, 1.

Le produit tensoriel sur T*F induit un produit KModèle:ExpModèle:Ind × KModèle:ExpModèle:Ind → KModèle:ExpModèle:Ind qui fait de KModèle:Exp(F) un anneau gradué qui est commutatif (au sens gradué).

Exemples

Pour n = 0, 1 ou 2, ces K-groupes de corps coïncident avec ceux de Quillen, mais pour n ≥ 3, ils sont en général différents.

KModèle:ExpModèle:Ind([[Corps fini|FModèle:Ind]]) = 0 pour n ≥ 2 (alors que le K-groupe de Quillen KModèle:Ind(FModèle:Ind), pour i ≥ 1, est cyclique d'ordre qModèle:Exp – 1).

KModèle:ExpModèle:Ind(ℂ) est un groupe divisible non dénombrable sans torsion.

KModèle:ExpModèle:Ind(ℝ) est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

KModèle:ExpModèle:Ind([[Nombre p-adique|ℚModèle:Ind]]) est la somme directe du groupe multiplicatif de FModèle:Ind et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

KModèle:ExpModèle:Ind(ℚ) est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et de sous-groupes cycliques d'ordre p – 1, pour tout nombre premier p impair.

Liens avec d'autres théories

La K-théorie de Milnor joue un rôle essentiel en théorie des corps de classes Modèle:Lien, remplaçant KModèle:ExpModèle:Ind utilisé en théorie des corps de classes de dimension 1.

La K-théorie de Milnor modulo 2, notée kModèle:Ind(F), est liée à la cohomologie étale (ou de Galois) du corps F par la conjecture de Milnor, démontrée par Vladimir Voïevodski. L'énoncé analogue modulo un nombre premier impair est la Modèle:Lien, démontrée par Voevodsky et Rost.

On définit le « symbole » {aModèle:Ind, … , aModèle:Ind} comme l'image de aModèle:Ind⊗ … ⊗ aModèle:Ind dans KModèle:ExpModèle:Ind(F) : si n = 2, c'est un symbole de Steinberg.

On définit pour tout n un morphisme de kModèle:Ind(F) dans le groupe de Witt de F, en associant à ce symbole la Modèle:Lien de dimension 2Modèle:Exp

Vu comme à valeurs dans IModèle:Exp/IModèle:Exp, ce morphisme est surjectif car les formes de Pfister engendrent additivement IModèle:Exp. La conjecture de Milnor s'interprète comme l'injectivité de ce morphisme.