K-théorie algébrique

Modèle:Titre mis en forme En mathématiques, la K-théorie algébrique est une branche importante de l'algèbre homologique. Son objet est de définir et d'appliquer une suite de foncteurs KModèle:Ind de la catégorie des anneaux dans celle des groupes abéliens. Pour des raisons historiques, KModèle:Ind et KModèle:Ind sont conçus en des termes un peu différents des KModèle:Ind pour n ≥ 2. Ces deux K-groupes sont en effet plus accessibles et ont plus d'applications que ceux d'indices supérieurs. La théorie de ces derniers est bien plus profonde et ils sont beaucoup plus difficiles à calculer, ne serait-ce que pour l'anneau des entiers.

Le groupe abélien KModèle:Ind(A) généralise la construction du groupe des classes d'idéaux d'un anneau A en utilisant les A-modules projectifs. Il a été développé dans les années 1960 et 1970 — au cours desquelles la « conjecture de Serre » sur les modules projectifs est devenue le théorème de Quillen-Suslin — et a été relié à beaucoup d'autres problèmes algébriques classiques. De même, le groupe KModèle:Ind(A) est une modification du groupe des unités, en utilisant les matrices élémentaires ; il est important en topologie, en particulier lorsque A est un anneau de groupe, parce qu'un groupe quotient, le Modèle:Lien, contient la Modèle:Lien, utilisée en théorie du type simple d'homotopie et de la chirurgie. Le groupe KModèle:Ind(A) contient aussi d'autres invariants, comme l'Modèle:Quoi. Depuis les années 1980, la K-théorie algébrique a eu de plus en plus d'applications en géométrie algébrique. Par exemple, la cohomologie motivique lui est intimement liée.

Histoire

Modèle:Article détaillé Alexandre Grothendieck a découvert la K-théorie au milieu des années 1950, comme cadre pour établir sa généralisation de grande envergure du théorème de Riemann-Roch. Quelques années plus tard, Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch ont considéré un analogue, la Modèle:Lien.

À partir de 1960, on a découvert des applications des K-groupes, en particulier en chirurgie des variétés, et de nombreux autres liens avec des problèmes algébriques classiques.

Un peu plus tard, une branche de la théorie des algèbres d'opérateurs fut développée avec profit, donnant naissance à la Modèle:Lien et à la Modèle:Lien. Il devint également clair que la K-théorie avait un rôle à jouer en géométrie algébrique, dans la théorie des cycles (conjecture de Gersten) : les groupes de K-théorie supérieurs y furent reliés aux phénomènes en codimensions supérieures, celles les plus difficiles à appréhender.

Le problème se posa de la variété des définitions de la K-théorie, à première vue non équivalentes. Utilisant les travaux de Steinberg sur les extensions centrales universelles des groupes algébriques classiques, John Milnor choisit de définir le groupe KModèle:Ind(A) d'un anneau A comme le centre, isomorphe à [[Homologie des groupes|HModèle:Ind(E(A), ℤ)]], de l'extension centrale universelle du groupe E(A) engendré par les matrices élémentaires infinies sur A. Il existe une application bilinéaire naturelle de KModèle:Ind(A) × KModèle:Ind(A) dans KModèle:Ind(A). Dans le cas particulier d'un corps k, le groupe KModèle:Ind(k) est isomorphe au groupe multiplicatif GL(1,k), et des calculs de Hideya Matsumoto ont montré que KModèle:Ind(k) est isomorphe au groupe engendré par KModèle:Ind(k) × KModèle:Ind(k) modulo un ensemble de relations facile à décrire.

Ces difficultés de fondation finirent par êtres résolues (laissant une théorie profonde et difficile) par Daniel QuillenModèle:,, qui donna plusieurs définitions de KModèle:Ind(A) pour tout entier naturel n, via sa construction plus et sa construction Q.

Premiers K-groupes

Les K-groupes d'indice 0 et 1 furent les premiers découverts, sous diverses descriptions Modèle:Page h', qui restent utiles. Dans toute la suite, A désigne un anneau unifère.

KModèle:Ind

L'ensemble des classes d'isomorphisme de A-modules projectifs de type fini, muni de la somme directe, forme un monoïde. On définit KModèle:Ind(A) comme son groupe de Grothendieck.

Tout morphisme d'anneaux A → B donne une application KModèle:Ind(A) → KModèle:Ind(B) qui envoie (la classe de) tout A-module M (projectif et de type fini) sur [[Extension des scalaires|M ⊗Modèle:Ind B]], ce qui fait de KModèle:Ind un foncteur covariant.

Si l'anneau A est commutatif, on peut définir dans KModèle:Ind(A) le sous-groupe

où

est l'application qui à (la classe de) M associe le rang du [[Localisation (mathématiques)|AModèle:Ind]]-module libre MModèle:Ind (ce module est bien libre, puisque c'est un module projectif sur un anneau local). Ce sous-groupe ${\tilde{K}}_0(A)$ est appelé la K-théorie réduite d'indice 0 de A.

On peut étendre la définition de KModèle:Ind à un anneau B non nécessairement unifère en considérant son unitarisé A = BModèle:1 et le morphisme canonique d'anneaux unifères A → ℤ. On définit alors KModèle:Ind(B) comme le noyau du morphisme KModèle:Ind(A) → KModèle:Ind(ℤ) = ℤ correspondant.

Exemples

• Les modules sur un corps k sont les k-espaces vectoriels et KModèle:Ind(k) est isomorphe à ℤ, par l'application dimension.
• Plus généralement, les modules projectifs sur un anneau local A sont libres et KModèle:Ind(A) est isomorphe à ℤ, par l'application rang.
• Si A est un anneau de Dedekind, KModèle:Ind(A) = Pic(A) ⊕ ℤ, où Pic(A) est le groupe de Picard de A et de même, la K-théorie réduite est donnée parModèle:Retrait
• Une variante algébrico-géométrique de cette construction s'applique à la catégorie des variétés algébriques ; elle associe à une variété algébrique X le K-groupe de Grothendieck de la catégorie des faisceaux localement libres (ou des faisceaux cohérents) sur X.
• Pour tout espace topologique compact, la Modèle:Lien KModèle:Exp(X) des fibrés vectoriels (réels) sur X coïncide avec le KModèle:Ind de l'anneau des fonctions continues de X dans ℝ.

KModèle:Ind relatif

Soit I un idéal de A. On définit le « double » associé comme le sous-anneau suivant de l'anneau produit A × A :

puis le K-groupe relatif :

où l'application est induite par la projection sur le premier facteur.

Ce K-groupe relatif KModèle:Ind(A, I) est isomorphe à KModèle:Ind(I), où I est vu comme un anneau sans unité. Le fait qu'il est indépendant de A est un analogue du théorème d'excision en homologie.

L'anneau KModèle:Ind

Si l'anneau A est commutatif, le produit tensoriel de deux modules projectifs est encore projectif, ce qui induit une multiplication faisant de KModèle:Ind un anneau commutatif, avec la classe [A] comme neutre multiplicatif. De même, le produit extérieur induit une structure de Modèle:Lien. Le groupe de Picard se plonge dans le groupe des unités de KModèle:Ind(A).

KModèle:Ind

Hyman Bass a donné la définition suivante, qui généralise celle du groupe des unités d'un anneau : KModèle:Ind(A) est l'abélianisé du groupe général linéaire infini :

D'après le lemme de Whitehead, le groupe dérivé [GL(A), GL(A)] coïncide avec le sous-groupe parfait E(A) engendré par les matrices élémentaires. Le groupe GL(A)/E(A), d'abord défini et étudié par Whitehead, est appelé le groupe de Whitehead de l'anneau A.

KModèle:Ind relatif

Le K-groupe relatif KModèle:Ind(A, I) est défini en termes du « double » :

Il s'insère dans une suite exacte :

Anneaux commutatifs

Si l'anneau A est commutatif, on peut définir un morphisme déterminant, de GL(A) dans le groupe AModèle:Exp des unités de A. Cette application s'annule sur E(A) donc passe au quotient et définit un morphisme det : KModèle:Ind(A) → AModèle:Exp, dont le noyau est le groupe de Whitehead spécial SKModèle:Ind(A) := SL(A)/E(A). On obtient même une suite exacte courte scindée à droite Modèle:Retrait quotient de celle, Modèle:Retrait dont une section AModèle:Exp → GL(A) est donnée par l'inclusion de AModèle:Exp = GL(1, A) dans GL(A).

Ainsi, KModèle:Ind(A) se décompose en la somme directe du groupe des unités et du groupe de Whitehead spécial : KModèle:Ind(A) ≃ AModèle:Exp ⊕ SKModèle:Ind(A).

Si A est un anneau euclidien (par exemple un corps commutatif, ou l'anneau des entiers) ou semi-local, alors le groupe SKModèle:Ind(A) est trivial et le déterminant est un isomorphisme de KModèle:Ind(A) dans AModèle:Exp. C'est faux pour un anneau principal quelconque, ce qui fournit l'une des rares propriétés des anneaux euclidiens ne se généralisant pas aux anneaux principaux. Des contre-exemples ont été donnés par Bass en 1972, puis par Ischebeck en 1980.

SKModèle:Ind(A) est également trivial si A est un sous-anneau de Dedekind d'un corps de nombres.

La trivialité de SKModèle:Ind peut s'interpréter en disant que KModèle:Ind est engendré par l'image de GLModèle:Ind. Lorsque ce n'est pas le cas, on peut chercher si KModèle:Ind est engendré par l'image de GLModèle:Ind. C'est vrai pour un anneau de Dedekind, KModèle:Ind étant alors engendré par les images de GLModèle:Ind et SLModèle:Ind. On peut étudier le sous-groupe de SKModèle:Ind engendré par SLModèle:Ind en faisant intervenir les Modèle:Lien. Pour un anneau de Dedekind dont tous les quotients par les idéaux maximaux sont finis, SKModèle:Ind est un groupe de torsion.

Pour un anneau non commutatif, le morphisme déterminant n'est pas défini en général, mais l'application GL(A) → KModèle:Ind(A) en est un substitut.

Algèbres centrales simples

Si A est une algèbre centrale simple sur un corps F, la norme réduite fournit une généralisation du déterminant, donnant une application KModèle:Ind(A) → F*, et l'on peut définir SKModèle:Ind(A) comme son noyau. Modèle:Lien a démontré que si le degré de A est premier alors SKModèle:Ind(A) est trivial, et ceci s'étend au cas où le degré est sans carré. Wang a aussi prouvé que SKModèle:Ind est trivial pour toute algèbre centrale simple sur un corps de nombres. Vladimir Platonov a donné des exemples, pour tout nombre premier p, d'algèbres de degré pModèle:2 dont le SKModèle:Ind n'est pas trivial.

KModèle:Ind

John Milnor a défini KModèle:Ind(A) comme le centre du groupe de Steinberg St(A) de A. C'est aussi le noyau du morphisme φ : St(A) → GL(A), et le multiplicateur de Schur du groupe E(A) engendré par les matrices élémentaires.

KModèle:Ind(ℤ) = ℤ/2ℤ et plus généralement, le KModèle:Ind de l'anneau des entiers d'un corps de nombres est fini.

KModèle:Ind(ℤ/nℤ) est encore ℤ/2ℤ si n est divisible par 4, mais est trivial sinon.

Théorème de Matsumoto

Le KModèle:Ind d'un corps est déterminé par les symboles de Steinberg : Modèle:Théorème

On en déduit facilement que le KModèle:Ind de tout corps fini est trivialModèle:,.

Le calcul de KModèle:Ind(ℚ) est un peu plus compliqué. John Tate a prouvé queModèle:,

en remarquant que la preuve suivait le même plan que la première des preuves par Gauss de la loi de réciprocité quadratiqueModèle:,.

Si F est un corps local non archimédien, son KModèle:Ind est la somme directe du groupe cyclique fini ℤ/mℤ et du groupe divisible KModèle:Ind(F)Modèle:Exp, où m est le nombre de racines de l'unité dans F.

Suites exactes longues

Si A est un anneau de Dedekind et F son corps des fractions, on a une suite exacte longue

où P parcourt l'ensemble des idéaux premiers non nuls de A.

D'autre part, pour tous A et I (idéal de A), la [[#K1 relatif|suite exacte qui met en jeu les KModèle:Ind et KModèle:Ind relatifs]] se prolonge :

Accouplement

Il existe un accouplement sur KModèle:Ind à valeurs dans KModèle:Ind : étant donné une paire de matrices commutantes X et Y sur A, soient x et y des antécédents dans le groupe de Steinberg. Le commutateur xyxModèle:-1yModèle:-1 est un élément du KModèle:Ind. Cette application n'est pas toujours surjective.

K-théorie de Milnor

L'expression ci-dessus du KModèle:Ind d'un corps commutatif k a conduit Milnor à une définition des K-groupes « supérieurs » comme les composantes, en chaque degré, du quotient de l'algèbre tensorielle du groupe abélien kModèle:Exp par l'idéal bilatère engendré par les a ⊗ (1 – a) pour a ≠ 0, 1 :

Pour n = 0, 1 ou 2, ces groupes KModèle:ExpModèle:Ind coïncident avec les groupes KModèle:Ind définis ci-dessous, mais pour n ≥ 3, ils sont en général différents. Par exemple, pour tout corps fini k, KModèle:ExpModèle:Ind(k) est trivial pour tout Modèle:Nobr tandis que KModèle:Ind(k) n'est trivial que si n est pair.

L'image dans KModèle:ExpModèle:Ind(k) d'un élément aModèle:Ind ⊗ … ⊗ aModèle:Ind est appelée un symbole, et notée {aModèle:Ind, …, aModèle:Ind}. Si m est un entier inversible dans k, il existe une application

où μModèle:Ind désigne le groupe des racines m-ièmes de l'unité dans une extension séparable de k. Elle s'étend en une application

qui vérifie les relations définissant les K-groupes de Milnor. L'application ∂Modèle:Exp, ainsi définie sur KModèle:ExpModèle:Ind(k), est appelée « symbole de Galois ».

La relation entre la cohomologie étale (ou de Galois) du corps et sa K-théorie de Milnor modulo 2 est la conjecture de Milnor, démontrée par Vladimir Voevodsky. L'énoncé analogue pour les nombres premiers impairs est la Modèle:Lien, démontrée par Voevodsky, Rost et d'autres.

Groupes supérieurs de K-théorie

Après quelques années pendant lesquelles diverses définitions incompatibles avaient été suggérées pour les K-groupes d'indices supérieurs, c'est celle donnée par Quillen qui fut acceptée. L'enjeu était de trouver des définitions de K(R) et K(R, I) en termes d'espaces classifiants, de telle sorte que R ↦ K(R) et (R, I) ↦ K(R, I) soient des foncteurs à valeurs dans une Modèle:Lien d'espaces et que la suite exacte longue pour les K-groupes relatifs soit simplement la suite exacte longue d'homotopie d'une fibration K(R, I) → K(R) → K(R/I).

Quillen donna deux constructions, la « construction plus » et la « construction Q », cette dernière étant par la suite modifiée de diverses façons. Les deux constructions donnent les mêmes K-groupes.

Construction plus

Pour n > 0, Quillen définit le n-ième K-groupe de R comme le n-ième groupe d'homotopie d'un espace obtenu en appliquant sa Modèle:Lien au classifiant BGL(R) du groupe linéaire infini GL(R) : Modèle:Retrait

Pour étendre cette définition au cas n = 0, il suffit de poser Modèle:Retrait

puisque BGL(R)Modèle:Exp est connexe par arcs et KModèle:Ind(R) est discret.

Construction Q

La Modèle:Lien donne les mêmes résultats que la construction plus mais s'applique à des situations plus générales. En outre, elle est plus directe, au sens où les K-groupes qu'elle produit sont fonctoriels par définition, alors que ce fait n'est pas immédiat dans la construction plus.

À toute catégorie exacte P, on associe la catégorie QP dont les objets sont ceux de P et dont les morphismes de M vers MModèle:' sont les classes d'isomorphismes de diagrammes dans P de la forme

où la première flèche est un épimorphisme admissible et la seconde un monomorphisme admissible.

Le n-ième K-groupe de la catégorie exacte P est alors défini par

où 0 est un objet nul fixé et BQP est l'espace classifiant de la catégorie QP, c'est-à-dire la Modèle:Lien de son nerf. En particulier, KModèle:Ind(P) est le groupe de Grothendieck de P.

En prenant pour P la catégorie des R-modules projectifs de type fini, on trouve les mêmes groupes que les KModèle:Ind(R) définis par la construction plus. Plus généralement, les K-groupes d'un schéma X sont définis comme ceux de la catégorie (exacte) des faisceaux cohérents localement libres sur X.

On utilise aussi la variante suivante : au lieu des R-modules de type fini projectifs (i.e. localement libres), on prend tous les R-modules de type fini. On note couramment GModèle:Ind(R) les K-groupes ainsi obtenus. Si R est un anneau noethérien régulier, ses G- et K-théories coïncident. En effet, la dimension globale de R est finie, c'est-à-dire que tout R-module de type fini M admet une Modèle:Lien projective P* → M, et un argument simple permet d'en déduire que le morphisme canonique KModèle:Ind(R) → GModèle:Ind(R) est bijectif, avec [M] = Σ ±[PModèle:Ind]. On montre que le morphisme entre K-groupes supérieurs est également bijectif.

Construction S

Une troisième construction des K-groupes est la construction S de Modèle:Lien. Elle s'applique aux catégories avec cofibrations (appelées Modèle:Lien), plus générales que les catégories exactes.

Exemples

Alors que la K-théorie algébrique de Quillen a aidé à comprendre en profondeur divers aspects de la géométrie et de la topologie algébriques, les K-groupes se sont avérés particulièrement difficiles à calculer, sauf dans quelques cas isolés mais intéressants.

Corps finis

Ce premier calcul de K-groupes supérieurs d'un anneau — et l'un des plus importants — fut effectué par Quillen lui-même : le corps fini à q éléments étant noté FModèle:Ind, on a :

• KModèle:Ind(FModèle:Ind) = ℤ,
• KModèle:Ind(FModèle:Ind) = 0 pour i ≥ 1,
• KModèle:Ind(FModèle:Ind) = ℤ/(qModèle:Exp – 1)ℤ pour i ≥ 1.

Anneaux d'entiers

Quillen a démontré que les K-groupes de l'[[Entier algébrique|anneau OModèle:Ind des entiers]] d'un corps de nombres F sont de type fini. Armand Borel s'en est servi pour calculer KModèle:Ind(OModèle:Ind) et KModèle:Ind(F) modulo torsion. Par exemple pour Modèle:Nobr Borel a démontré que pour tout i > 1, KModèle:Ind(ℤ) modulo torsion est ℤ si i est congru à 1 modulo 4 et [[Groupe trivial|Modèle:Math]] sinon.

On a récemment déterminé les sous-groupes de torsion des KModèle:Ind(ℤ) et l'ordre des groupes abéliens finis KModèle:Ind(ℤ), mais les questions de la cyclicité de ces derniers et de la trivialité des KModèle:Ind(ℤ) dépendent de la conjecture de Vandiver sur le groupe des classes des entiers cyclotomiques. Voir l'article « Modèle:Lien » pour plus de détails.

Applications et questions ouvertes

Les groupes de K-théorie algébrique interviennent dans des conjectures sur les Modèle:Lien de fonctions L, la formulation de la conjecture principale en théorie d'Iwasawa non commutative et la construction de régulateurs Modèle:Lien.

La Modèle:Lien prévoit que pour toute variété lisse sur un corps fini, les K-groupes supérieurs sont de torsion.

Modèle:Lien prévoit que pour toute ℤ-algèbre A de type fini, tous les [[#Construction Q|groupes GModèle:Ind(A)]] sont de type fini.

Voir aussi

Bibliographie

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• Modèle:Chapitre (construction Q)
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Liens externes

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Articles connexes

• Déterminant de Dieudonné
• Modèle:Lien
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• Spectre de la K-théorie
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• Symbole de Hilbert