Déterminant de Dieudonné

En algèbre linéaire, le déterminant de Dieudonné est une généralisation du déterminant aux corps gauches et plus généralement aux anneaux locaux non nécessairement commutatifs.

Définition

Soient Modèle:Mvar un anneau local (non nécessairement commutatif) et Modèle:Math l'abélianisé du [[Groupe des unités|groupe Modèle:Math de ses éléments inversibles]] (c'est le groupe quotient de Modèle:Math par son groupe dérivé Modèle:Math). Notons θ le morphisme canonique de Modèle:Math sur Modèle:Math. Pour tout entier Modèle:Math, il existe un unique application Modèle:Math, appelée déterminant, telle que :

• le déterminant est invariant par toute opération élémentaire sur les lignes consistant à ajouter à une ligne un multiple à gauche d'une autre ligne ;
• le déterminant de la matrice identité est l'élément neutre Modèle:Math ;
• si une ligne est multipliée à gauche par un élément inversible a alors le déterminant est multiplié à gauche par l'image de a dans Modèle:Math.

Exemples

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{GL}}_n(R)$. Alors chaque ligne et chaque colonne contient au moins un élément inversible. Supposons par exemple que $a\in R^{\times }$. Alors,

$\begin{array}{cc}\det A& =\bar{a}\det \left(\begin{array}{cc}1& a^{-1}b\\ c& d\end{array}\right)=\bar{a}\det \left(\begin{array}{cc}1& a^{-1}b\\ c-c\times 1& d-c\times a^{-1}b\end{array}\right)=\bar{a}\overline{(d-c{a}^{-1}b)}\det \left(\begin{array}{cc}1& a^{-1}b\\ 0& 1\end{array}\right)\\ & =\overline{a(d-c{a}^{-1}b)}\det \left(\begin{array}{cc}1-a^{-1}b\times 0& a^{-1}b-a^{-1}b\times 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\overline{a(d-c{a}^{-1}b)}\det {\mathrm{I}}_2\\ & =\overline{a(d-c{a}^{-1}b)}.\end{array}$

De même, si $c\in R^{\times }$ alors

$\det A=\overline{c(a{c}^{-1}d-b)}$.

Plus concrètement, soit Modèle:Math, le corps des quaternions. [[Groupe dérivé#Abélianisé|Modèle:Math]]. Pour

$A=\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{i}\\ \mathrm{j}& \mathrm{k}\end{array}\right)\text{et}{A}^{\mathrm{t}}=\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{j}\\ \mathrm{i}& \mathrm{k}\end{array}\right)$,

les deux formules ci-dessus s'appliquent, donnant bien entendu le même résultat :

$\det A=\Vert 1(\mathrm{k}-\mathrm{j}\mathrm{i})\Vert =\Vert \mathrm{j}(-\mathrm{j}\mathrm{k}-\mathrm{i})\Vert =\Vert 2\mathrm{k}\Vert =2$ et

$\det A^{\mathrm{t}}=\Vert 1(\mathrm{k}-\mathrm{i}\mathrm{j})\Vert =\Vert \mathrm{i}(-\mathrm{i}\mathrm{k}-\mathrm{j})\Vert =\Vert 0\Vert =0$.

Propriétés

• Cette application est un morphisme de groupes.
• Quand on intervertit deux lignes, le déterminant est multiplié par Modèle:Math.
• Si Modèle:Mvar est commutatif, le déterminant est invariant par transposition.

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