Lemme de Whitehead
Le lemme de Whitehead, nommé d'après J. H. C. Whitehead[1]Modèle:,[2], est un lemme d'algèbre abstraite qui permet de décrire le sous-groupe dérivé du groupe général linéaire infini d'un anneau unitaire[3]Modèle:,[4]. Il est utilisé en K-théorie algébrique[5]Modèle:,[6].
Notations
Soit R un anneau unitaire.
Le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans R est noté GL(n, R) et la réunion croissante de ces groupes est notée GL(R).
Le sous-groupe de GL(n, R) engendré par les matrices élémentaires de transvections est noté E(n, R). Le sous-groupe de GL(R) constitué de la réunion des E(n, R) est noté E(R).
Dans un groupe G, le sous-groupe dérivé (engendré par les commutateurs [x, y] = xyxModèle:-1yModèle:-1) sera noté ici [G, G].
Énoncés
Divers énoncés portent en fait le nom de « lemme de Whitehead ».
- Pour toutes matrices A et B dans GL(n, R),
[7] autrement dit : pour toute matrice B dans GL(n, R), - Le groupe dérivé du groupe linéaire infini est le sous-groupe engendré par les matrices élémentaires de transvections[1]Modèle:,[4]Modèle:,[5] :
[GL(R), GL(R)] = E(R). - De plus, ce sous-groupe est parfait : [E(R), E(R)] = E(R).
Remarques
L'analogue des énoncés 2 et 3 pour GL(n, R) et E(n, R) est faux, par exemple pour R égal au corps fini ℤ/2ℤ et pour n = 2 : GL(2, ℤ/2ℤ) est non abélien et d'ordre 6, donc isomorphe au groupe symétrique SModèle:Ind, dont le groupe dérivé est le sous-groupe alterné AModèle:Ind, alors que E(2, ℤ/2ℤ) est égal à GL(2, ℤ/2ℤ) tout entier.
Cependant :
- d'après la deuxième relation de Steinberg eModèle:Ind(λμ) = [eModèle:Ind(λ), eModèle:Ind(μ)] pour i, j, k distincts, E(n, R) est parfait dès que n ≥ 3[3].
- si R est un anneau euclidien ou un anneau commutatif semi-local, E(n, R) est égal au groupe spécial linéaire SL(n, R) tout entier[7].
- si R est un anneau de polynômes à un nombre fini d'indéterminées sur un corps, E(n, R) = SL(n, R) pour n ≥ 3, d'après un théorème de Suslin[8].
Le premier de ces trois points assure que E(R) = [E(R), E(R)] ⊂ [GL(R), GL(R)]. Pour l'inclusion réciproque de [GL(R), GL(R)] dans E(R), il suffit d'utiliser l'énoncé 1 ci-dessus du « lemme de Whitehead » et l'égalité
L'énoncé 2 du lemme de Whitehead revient à dire que le sous-groupe E(R) est normal dans GL(R) et que le groupe quotient GL(R)/E(R) est l'abélianisé KModèle:Ind(R) de GL(R). Si l'anneau R est commutatif, on a un morphisme déterminant, de KModèle:Ind(R) dans le [[groupe des unités|groupe RModèle:Exp]] des inversibles de R. Pour que ce soit un isomorphisme, il suffit que E(n, R) = SL(n, R) pour tout n assez grand[9], comme dans les « bons cas » ci-dessus, mais il ne suffit pas que R soit principal[10].
Notes et références
- ↑ 1,0 et 1,1 Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ 3,0 et 3,1 Modèle:Harvsp.
- ↑ 4,0 et 4,1 Modèle:Ouvrage.
- ↑ 5,0 et 5,1 Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ 7,0 et 7,1 Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.