Groupe de Steinberg (K-théorie)

Modèle:Voir homonyme Dans le domaine mathématique de la K-théorie algébrique, le groupe de Steinberg St(A) d'un anneau unitaire A est un groupe défini par générateurs et relations, à partir de certaines relations vérifiées par les matrices élémentaires de transvections. Il est nommé d'après Robert Steinberg et est relié aux premiers groupes de K-théorie, en particulier KModèle:Ind et KModèle:Ind.

Relations de Steinberg

Les matrices élémentaires de transvections eModèle:Ind(λ) pour p ≠ q — avec des 1 sur la diagonale, un coefficient λ en position (p, q), et des 0 partout ailleurs — vérifient les relations suivantes, appelées relations de Steinberg :

$\begin{array}{cc}{e}_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )& =e_{ij}(\lambda +\mu ),\\ [e_{ij}(\lambda ),e_{jk}(\mu )]& =e_{ik}(\lambda \mu )& \text{si }i\ne k,\\ [e_{ij}(\lambda ),e_{kl}(\mu )]& =\mathrm{𝟏}& \text{si }i\ne l\text{ et }j\ne k.\end{array}$

Le groupe de Steinberg « stable » St(A) est défini par les générateurs xModèle:Ind(λ) (i, j ∈ ℕ*, i ≠ j, λ ∈ A), soumis à ces relations. C'est la limite inductive des groupes de Steinberg « non stables » StModèle:Ind(A), définis de même mais pour i, j ≤ n.

Le groupe général linéaire « stable » GL(A) est défini comme la réunion croissante des GL(n, A), via l'identification de toute matrice carrée M de taille n à la matrice diagonale par blocs diag(M, 1), de taille Modèle:Nobr Par construction, il existe un unique morphisme de groupes φ : St(A) → GL(A) qui envoie les xModèle:Ind(λ) sur les eModèle:Ind(λ).

D'après le lemme de Whitehead, l'image de φ est le groupe dérivé de GL(A), c'est-à-dire que les matrices élémentaires de transvections engendrent, dans GL(A), le même sous-groupe que les commutateurs. Ce sous-groupe est noté E(A).

Liens avec la K-théorie

KModèle:Ind

Le groupe KModèle:Ind(A) est défini comme l'abélianisé de GL(A), c'est-à-dire le quotient de GL(A) par son sous-groupe dérivé E(A). Autrement dit, c'est le conoyau de φ.

KModèle:Ind

MilnorModèle:, a défini KModèle:Ind(A) comme le centre de St(A).

C'est aussi le noyau du morphisme φ : St(A) → GL(A), de sorte qu'on a une suite exacte

1 → KModèle:Ind(A) → St(A) → E(A) → 1.

Cette suite est en fait l'extension centrale universelle du groupe parfait E(A). Autrement dit, KModèle:Ind(A) est le multiplicateur de Schur de E(A). Il s'écrit donc aussi comme un groupe d'homologie : Modèle:Nobr

KModèle:Ind

Gersten a démontré que KModèle:Ind(A) = HModèle:Ind(St(A), ℤ).