L-théorie algébrique

Modèle:À sourcer Modèle:Voir homonymes En mathématiques, la « L-théorie algébrique » est l'équivalent de la K -théorie pour des formes quadratiques. Le terme a été inventé par C. T. C. Wall, qui a utilisé L car c'était la lettre après le K . La théorie L algébrique, également connue sous le nom de « théorie K hermitienne », est importante dans la théorie de la chirurgie.

Définition

On peut définir des L -groupes pour tout anneau d'involution R : les L -groupes quadratiques $L_{*}(R)$ (Wall) et les L -groupes symétriques $L^{*}(R)$ (Mishchenko, Ranicki).

Dimension paire

Les L-groupes de dimension paire $L_{2k}(R)$ sont définis comme les groupes de Witt de formes ε-quadratiques sur l'anneau R avec $ϵ=(-1{)}^k$ . Plus précisément, $L_{2k}(R)$ est le groupe abélien de classes d'équivalence $[\psi ]$ et de formes ε-quadratiques non dégénérées $\psi \in Q_{ϵ}(F)$ sur R, où les R-modules F sous-jacents sont libres de génération finie. La relation d'équivalence est donnée par stabilisation par rapport aux formes ε-quadratiques hyperboliques :

$[\psi ]=[{\psi }^{\prime }]⟺n,n^{\prime }\in {\mathbb{N}}_0:\psi \oplus H_{(-1{)}^k}(R{)}^n\cong {\psi }^{\prime }\oplus H_{(-1{)}^k}(R{)}^{n^{\prime }}$ .

L'addition dans $L_{2k}(R)$ est défini par

$[{\psi }_1]+[{\psi }_2]:=[{\psi }_1\oplus {\psi }_2].$

L'élément zéro est représenté par $H_{(-1{)}^k}(R{)}^n$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}_0$ . L'inverse de $[\psi ]$ est $[-\psi ]$ .

Dimension impaire

La définition des L-groupes de dimension impaire est plus compliquée ; de plus amples détails et la définition des L-groupes de dimension impaire peuvent être trouvés dans les références mentionnées ci-dessous.

Exemples et applications

Les L -groupes d'un groupe $\pi$ sont les L-groupes $L_{*}(𝐙[\pi ])$ de l'anneau $𝐙[\pi ]$ . Dans les applications à la topologie, $\pi$ est le groupe fondamental ${\pi }_1(X)$ d'un espace $X$ . Les L -groupes quadratiques $L_{*}(𝐙[\pi ])$ jouent un rôle central dans la classification chirurgicale des types d'homotopie $n$ -variétés dimensionnelles de dimension $n>4$, et dans la formulation de la conjecture de Novikov.

La distinction entre les L-groupes symétriques et les L-groupes quadratiques, indiquée par des indices supérieurs et inférieurs, reflète l'utilisation dans l'homologie et la cohomologie de groupe. La cohomologie de groupe $H^{*}$ du groupe cyclique ${𝐙}_2$ traite des points fixes d'une action ${𝐙}_2$, tandis que l'homologie de groupe $H_{*}$ traite des orbites d'une action ${𝐙}_2$, compare $X^G$ (points fixes) et $X_G=X/G$ (orbites, quotient) pour la notation d'index supérieur/inférieur.

Les L -groupes quadratiques : $L_n(R)$ et les L -groupes symétriques : $L^n(R)$ sont liés par une carte de symétrisation $L_n(R)\to L^n(R)$ qui est un isomorphisme modulo 2-torsion, et qui correspond aux identités de polarisation.

Les L-groupes quadratiques et symétriques sont quadratiques périodiques (le commentaire de Ranicki, page 12, sur la non-périodicité des L-groupes symétriques fait référence à un autre type de L-groupes, défini à l'aide de "complexes courts").

Compte tenu des applications à la classification des variétés, il existe des calculs approfondis des $L$ -groupes quadratiques $L_{*}(𝐙[\pi ])$ . Pour des $\pi$ finis, des méthodes algébriques sont utilisées; pour des $\pi$ infinis, on utilise principalement des méthodes géométriques (par exemple la topologie contrôlée).

Plus généralement, on peut définir des L -groupes pour toute catégorie additive avec une dualité de chaîne, comme dans Ranicki (section 1).

Entiers

Les L -groupes simplement connectés sont aussi les L -groupes des entiers, comme $L(e):=L(𝐙[e])=L(𝐙)$ pour $L$ = $L^{*}$ ou $L_{*}.$ Pour les L-groupes quadratiques, ce sont les obstacles chirurgicaux à la chirurgie simplement connexe.

Les L -groupes quadratiques des entiers sont :

$\begin{array}{cccc}{L}_{4k}(𝐙)& =𝐙& & \text{signature}/8\\ L_{4k+1}(𝐙)& =0\\ L_{4k+2}(𝐙)& =𝐙/2& & \text{Arf invariant}\\ L_{4k+3}(𝐙)& =0.\end{array}$

En dimension pairement paire (4 k ), les L -groupes quadratiques détectent la signature ; en dimension simplement paire (4 k +2), les L -groupes détectent l' invariant Arf (topologiquement l' invariant de Kervaire ).

Les L -groupes symétriques des entiers sont :

$\begin{array}{cccc}{L}^{4k}(𝐙)& =𝐙& & \text{signature}\\ L^{4k+1}(𝐙)& =𝐙/2& & \text{de Rham invariant}\\ L^{4k+2}(𝐙)& =0\\ L^{4k+3}(𝐙)& =0.\end{array}$

En dimension pairement paire (4 k ), les L -groupes symétriques, comme les L -groupes quadratiques, détectent la signature ; en dimension (4 k +1), les L -groupes détectent l' invariant de de Rham.