Lemme d'Aubin–Lions

Modèle:Orphelin En mathématiques, le lemme (ou théorème) d'Aubin-Lions est un résultat de la théorie des espaces de Sobolev, qui fournit un critère de compacité utile dans l'étude des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Typiquement, pour prouver l'existence de solutions on construit d'abord des solutions approchées (par exemple, par une méthode de Galerkine ou par régularisation de l'équation), puis on utilise le lemme de compacité pour montrer qu'il existe une sous-suite convergente de solutions approchées dont la limite est une solution.

Le résultat porte le nom des mathématiciens français Jean-Pierre Aubin et Jacques-Louis Lions. Dans la preuve originale d'Aubin, les espaces X₀ et X₁ dans l'énoncé du lemme étaient supposés être réflexifs, mais cette hypothèse a été supprimée par Simon. Pour cette raison, le résultat est parfois connu sous le nom de lemme d'Aubin–Lions–Simon.

Énoncé du lemme

Soient X₀, X et X₁ trois espaces de Banach avec X₀ ⊆ X ⊆X_1. Supposons que X ₀ est plongé de manière compacte dans X et que X est continûment plongé dans X₁. Pour $1\le p,q\le \mathrm{\infty }$, soit

$W=\{u\in L^p([0,T];X_0)\mid \dot{u}\in L^q([0,T];X_1)\}.$

(i) Si $p<\mathrm{\infty }$, alors le plongement de Modèle:Mvar dans $L^p([0,T];X)$ est compact.

(ii) Si $p=\mathrm{\infty }$ et $q>1$, alors le plongement de Modèle:Mvar dans $C([0,T];X)$ est compact.

Bibliographie

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• Modèle:Ouvrage (Theorem II.5.16)
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• Modèle:Ouvrage (Sect.7.3)
• Modèle:Ouvrage (Proposition III.1.3)
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