Lemme de Finez

Modèle:Article sans source Modèle:Ébauche En mathématiques, le critère de convergence de Finez est un résultat élémentaire de suites et sous-suites convergentes.

Énoncé

Soient :

• $(u_n)$ une suite réelle bornée,
• $\alpha$ un réel de valeur absolue strictement inférieure à $1$
• $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ une fonction extractrice.

Remarque

Ce résultat se généralise pour une suite bornée à valeurs complexes avec $\alpha$ de module inférieur strict à $1$.

Démonstration

Posons $v_n=u_n+\alpha u_{\phi (n)}$, qui converge donc vers $l$ par hypothèse.

Soit $a$ une valeur d'adhérence de $(u_n)$ et notons $\psi$ une extractrice associée. Alors, pour tout entier $n$, $u_{\phi (\psi (n))}=\frac{v_{\psi (n)}-u_{\psi (n)}}{\alpha }$. Or $(u_{\psi (n)})$ converge vers $a$ et $v_{\psi (n)}$ converge vers $l$. Donc par opérations usuelles sur les limites, $u_{\phi (\psi (n))}$ converge vers $\frac{l-a}{\alpha }$.

Ainsi, on peut montrer par récurrence que la suite $(a_n)$ définie par : $a_0=a$ et $a_{n+1}=\frac{l-a_n}{\alpha }$ ne contient que des valeurs d'adhérences de $(u_n)$.

Si $a\ne \frac{l}{\alpha +1}$, la suite $(a_n)$ n'est pas bornée. Or $(u_n)$ est bornée, donc il en est de même pour ses valeurs d’adhérence. Ceci permet de conclure que $a=\frac{l}{\alpha +1}$.

Ainsi, $(u_n)$ n'admet qu'une seule valeur d'adhérence et elle est bornée, donc elle converge vers cette valeur d'adhérence (on peut montrer grâce au théorème de Bolzano-Weierstrass que si une suite est bornée et ne converge pas, elle admet au moins deux valeurs d'adhérences).

Ainsi $(u_n)$ converge vers $\frac{l}{\alpha +1}$.