Lemme de Goursat

Énoncé

Soient G et GModèle:' deux groupes, H un sous-groupe de [[Produit direct (groupes)|G×GModèle:']] tel que les deux projections canoniques, p : H → G et pModèle:' : H → GModèle:', soient surjectives. Le noyau N de pModèle:' est un sous-groupe normal de G×[[Groupe trivial|{eModèle:'}]] (où eModèle:' désigne l'élément neutre de GModèle:') donc s'identifie à un sous-groupe normal de G ; le noyau NModèle:' de p s'identifie de même à un sous-groupe normal de GModèle:'. Avec ces identifications,

l'image de H dans G/N×GModèle:'/NModèle:' est le graphe d'un isomorphisme G/N ≃ GModèle:'/NModèle:'.

On vérifie d'abord que N, vu comme sous-groupe de G, est bien normal, comme image de ker(pModèle:') (normal dans H) par le morphisme surjectif p.

L'image de H dans G/N×GModèle:'/NModèle:' est l'ensemble

G^{″} : = {(g N, g^{'} N^{'}) ∣ (g, g^{'}) \in H} .

Par surjectivité de p, tout élément de G/N est la première composante d'au moins un couple de G". Un tel couple est de plus unique car

si h_{1} = (g_{1}, g'_{1}), h_{2} = (g_{2}, g'_{2}) \in H et g_{1} N = g_{2} N alors h_{1}^{- 1} h_{2} \in N^{'} donc g'_{1} N^{'} = g'_{2} N^{'} .

De même, tout élément de GModèle:'/NModèle:' est la seconde composante d'un unique couple de G".

Par construction, cette bijection est un morphisme de groupes.