Loi de Cantor

Modèle:Infobox Distribution statistiques En théorie des probabilités, la loi de Cantor est une loi de probabilité singulière dont le support est l'ensemble de Cantor et la fonction de répartition est l'escalier de Cantor. Comme ces derniers, le nom de la loi est issue du mathématicien allemand Georg Cantor.

Cette loi de probabilité est singulière, ainsi elle n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et donc ne possède pas de densité de probabilité ; elle ne possède pas non plus de fonction de masse. Elle est donc ni une loi de probabilité discrète, ni une loi de probabilité à densité, ni un mélange de ces dernières.

Caractérisation

Le support de la loi de Cantor est l'ensemble de Cantor qui est l'intersection de la suite infinie d'ensembles :

$\begin{array}{cc}{C}_0=& [0,1]\\ C_1=& [0,1/3]\cup [2/3,1]\\ C_2=& [0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\ C_3=& [0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\ & [2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\ C_4=& \cdots .\end{array}$

La loi de Cantor est l'unique loi de probabilité Modèle:Mvar pour laquelle, sur toute union d'ensembles Modèle:Mvar, pour Modèle:Math, la loi est uniforme sur chacun des 2Modèle:Exp ensembles de Modèle:Mvar :

$\mu (C_t^i)=2^{-t}\text{ si }{C}_t=\bigcup _{i=1}^{2^t}{C}_t^i$.

Cette loi de Cantor est parfois précisée : « loi de Cantor sur [0, 1] ». Elle peut être définie de la même manière sur l'intervalle [–1,1], ce qui en fait une loi centrée.

Moments

Il est aisé de remarquer, par symétrie, que l'espérance d'une variable aléatoire Modèle:Mvar de loi de Cantor est : $𝔼[X]=\frac{1}{2}$. Les moments centrés d'ordre impair sont tous nuls.

Donnons un calcul pour la variance. Pour l'ensemble Modèle:Math ci-dessus, soit Modèle:Math si $X\in [0,\frac{1}{3}]$ et Modèle:Math si $X\in [\frac{2}{3},1]$. Ceci s'écrit à l'aide d'une indicatrice : $Y=1_{[\frac{2}{3},1]}(X)$. Alors :

$\begin{array}{cc}\mathrm{var}(X)& =𝔼(\mathrm{var}(X\mid Y))+\mathrm{var}(𝔼(X\mid Y))\\ & =\frac{1}{9}\mathrm{var}(X)+\mathrm{var}\left\{\begin{array}{cc}1/6& \text{avec probabilité}1/2\\ 5/6& \text{avec probabilité}1/2\end{array}\right\}\\ & =\frac{1}{9}\mathrm{var}(X)+\frac{1}{9}.\end{array}$

De ceci, on obtient : $\mathrm{var}(X)=\frac{1}{8}.$

Des formules pour tout moment d'ordre pair peuvent être obtenues en obtenant tout d'abord les cumulants :

${\kappa }_{2n}=\frac{2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n(3^{2n}-1)},$

où Modèle:Math est le 2n-ième nombre de Bernoulli.

Construction

La loi de Cantor est la loi du nombre aléatoire Modèle:Mvar, compris entre 0 et 1, obtenu en tirant au hasard les chiffres de son développement triadique de la manière suivante : les chiffres sont indépendants et valent 0 ou 2 avec probabilité 0,5.

Nota : si ces chiffres étaient indépendants et uniformément distribués sur l'ensemble {0,1,2}, Modèle:Mvar suivrait la loi uniforme entre 0 et 1.

Plus précisément, soit $\omega \in ]0,1[=\mathrm{\Omega }$, l'intervalle Modèle:Math étant muni de la mesure de Lebesgue, ce qui en fait l'espace de probabilité canonique. Pour $k\ge 1$, posons :

$X_k\left(\omega \right)=\lfloor 2^k\omega \rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\omega \rfloor ,$

de sorte que:

$\sum _{k\ge 1}\frac{X_k\left(\omega \right)}{2^k}=\omega .$

On sait que, d'une part, la suite ${\left(X_k\left(\omega \right)\right)}_{k\ge 1}$ est la suite des chiffres du développement dyadique propre de Modèle:Math, et que, d'autre part, ${\left(X_k\right)}_{k\ge 1}$ est une suite de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,5. Posons :

$Z\left(\omega \right)=\sum _{k\ge 1}\frac{2X_k\left(\omega \right)}{3^k}.$

Alors Modèle:Théorème En effet,

$\{Z\in C_t^i\}\iff \{(X_1,X_2,\dots ,X_t)=\epsilon \}$

où $\epsilon =({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_t)$ est une suite de 0 et de 1 bien choisie, de sorte que :

$\mu (C_t^i)=\mathbb{P}(Z\in C_t^i)=\mathbb{P}((X_1,X_2,\dots ,X_t)=\epsilon )=2^{-t}.$

De cette construction concrète, on peut déduire toutes les grandes propriétés de l'escalier de Cantor, via des arguments probabilistes : en particulier, la loi forte des grands nombres entraîne que la loi de Cantor et la mesure de Lebesgue sont étrangères, bien que la loi de Cantor soit, par ailleurs, diffuse. Ces propriétés de la loi de Cantor se traduisent par la continuité de l'escalier de Cantor (la loi de Cantor est diffuse) et la nullité (presque partout) de la dérivée de l'escalier de Cantor (car la loi de Cantor est étrangère à la mesure de Lebesgue).