Loi de Gauss-Kuzmin

En théorie des probabilités, la loi de Gauss-Kuzmin est une loi de probabilité discrète à support infini qui apparaît comme loi de probabilité asymptotique des coefficients dans le développement en fraction continue d'une variable aléatoire uniforme sur $]0,1[$. Le nom provient de Carl Friedrich Gauss qui considéra cette loi en 1800, et de Rodion Kuzmin qui donna une borne pour la vitesse de convergence en 1929Modèle:, par l'intermédiaire de la fonction de masse :

$p(k):=\mathbb{P}(X=k)=-{\log }_2(1-\frac{1}{(1+k{)}^2}).$

Théorème de Gauss-Kuzmin

Soit $U$ une variable aléatoire uniforme sur $]0,1[$ et

$U=\frac{1}{k_1+\frac{1}{k_2+\cdots }}$

son développement en fraction continue. Alors

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{P}\{k_n=k\}=-{\log }_2(1-\frac{1}{(k+1{)}^2}).$

Ou de manière équivalente, en notant $U_n=1/(k_{n+1}+1/(k_{n+2}+\cdots ));$ alors

${\mathrm{\Delta }}_n(s):=\mathbb{P}\{U_n\le s\}-{\log }_2(1+s)$

converge vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.

Vitesse de convergence

En 1928, Kuzmin donne la borne

$|{\mathrm{\Delta }}_n(s)|\le C\exp (-\alpha \sqrt{n})$.

En 1929, Paul Lévy l'améliore en majorant

$|{\mathrm{\Delta }}_n(s)|\le C0,7^n$.

Plus tard, Eduard Wirsing montreModèle:, que pour $\lambda =0,30366\dots$ (la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing), la limite

$\mathrm{\Psi }(s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\mathrm{\Delta }}_n(s)}{(-\lambda {)}^n}$

existe pour tout $s\in [0,1]$, et la fonction $\mathrm{\Psi }$ est analytique et satisfait $\mathrm{\Psi }(0)=\mathrm{\Psi }(1)=0$. D'autres bornes ont été établies par K. I. Babenko.

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