Eduard Wirsing

Eduard Wirsing, né le 28 juin 1931 à Berlin et mort le 22 mars 2022 à Cologne, est un mathématicien allemand, spécialiste de théorie analytique des nombres.

Biographie

Wirsing étudie à l’université de Göttingen et à l’université libre de Berlin. Il soutient en 1957 sous la direction de Hans-Heinrich Ostmann, une thèse intitulée « Über wesentliche Komponenten in der additiven Zahlentheorie » (Sur les composantes essentielles en théorie additive).

Après une habitation en 1959 à l'université de Brunswick, Wirsing obtient un poste en 1961 à l’université de Marbourg et y devient professeur en 1969. Il fait aussi pendant cette période plusieurs séjours à l’étranger, en. particulier en 1967-1968, à l’université Cornell et en 1970-1971 à l'Institute for Advanced Study, à Princeton. À partir de 1974, Wirsing devient professeur à l'université d'Ulm. Il prend sa retraite en 1999, comme professeur émérite, mais continue ses recherches mathématiques.

Travaux

Wirsing a consacré plusieurs articles aux bases additives, en lien avec sa thèseModèle:Sfn. Une base additive est un ensemble d’entiers tel que, pour un nombre k, tout entier positif peut s’écrire comme la somme d’au plus k nombres de la base. Par exemple, le théorème de Lagrange montre que les carrés forment une base additive d’ordre 4, puisque tout entier est une somme de 4 carrés. Par ailleurs, pour un ensemble A d’entiers positifs ou nuls, A(x) est le nombre d’éléments de A inférieurs ou égaux à x et $\sigma (A)$ la densité de Schnirelmann de A, c’est-à-dire la borne inférieure de $\frac{A(n)}{n}$ sur les entiers n. Tout ensemble avec une densité de Schnirelmann strictement positive est une base additive. Une composante essentielle est un ensemble W d’entiers tel que si $\sigma (A)$ existe, $\sigma (A+W)>\sigma (A)$.

Paul Erdös avait montré que toute base est une composante essentielle. En 1956, avec Alfred Stöhr, Wirsing a donné un exemple montrant que la réciproque est fausse, plus simple que le premier exemple donné par Yuri Linnik en 1942 .

Wirsing a aussi prouvé que pour toute base additive d’ordre k avec quelques conditions techniques, il existe une sous-base d’ordre k dont la fonction de comptage est d’ordre $O((x\log x{)}^{\frac{1}{k}})$.

En 1961, Wirsing a publié une étude importante sur l’existence de moyennes asymptotiques pour certaines classes de fonctions multiplicatives (c’est-à-dire de fonctions telles que f(mm’)=f(m) f(m’) si m et m’ sont deux entiers premiers entre eux)Modèle:,Modèle:Sfn. Il a ensuite amélioré ses résultats, ce qui lui a permis de démontrer une conjecture de Paul Erdős, selon laquelle une fonction multiplicative qui a deux valeurs seulement, 1 et -1 a une valeur moyenneModèle:Sfn. Une version effective de ses résultats a été donnée en 2017 par Gérald Tenenbaum.

Dans les années 1960, Wirsing a prouvé une généralisation du théorème de Thue-Siegel-Roth pour les corps de nombres algébriquesModèle:,Modèle:,.

Soit $\alpha$ un nombre algébrique réel et un entier n positif, il y a un nombre fini de nombres algébriques $\beta$ de degré inférieur ou égal n (autrement dit solution d’une équation polynomiale irréductible à coefficients entiers de degré inférieur ou égal à n) tels que :

$|\alpha -\beta |<H(\beta {)}^{-(2n+\epsilon )}$ pour tout $\epsilon$ positif aussi petit que l’on veut.

Ici $H(\beta )$ est la hauteur du nombre algébrique $\beta$, c’est-à-dire le maximum des valeurs absolues des coefficients du polynôme minimal sur $\mathbb{Z}$ dont $\beta$ est une racine.

Ce résultat est le théorème de Roth lorsque le degré d est 1, c’est-à-dire qu’on cherche à approcher $\alpha$ par des nombres $\beta$ rationnels. La version générale de Wirsing montre qu’un nombre réel algébrique ne peut pas être bien approché par des nombres algébriques de n’importe quel degré. L’exposant 2n a été amélioré en n+1 par Wolfgang M. SchmidtModèle:Sfn.

Wirsing est aussi connu pour son travail sur la distribution de Gauss-Kuzmin. Il a donné des estimations de $r_n(x)=m_n(x)-\frac{\log (1+x)}{\log 2}$, où $m_n(x)$ est la mesure de Lebesgue de l’ensemble des nombres dans l’intervalle (0,1) dont le développement en fraction continue régulière $[0;a_1,a_2,\dots ]$ est tel que $[0;a_{n+1},a_{n+2},\dots ]$ est plus petit que x. C’est dans ce contexte qu’il a introduit et calculé une constante mathématique universelle, $\lambda =0,303663029\dots$, maintenant appelée la constante de Gauss-Kuzmin-WirsingModèle:,Modèle:,.

Bibliographie

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