Théorème de Roth

En mathématiques, le théorème de Roth, ou théorème de Thue-Siegel-Roth, est un énoncé de théorie des nombres, concernant plus particulièrement l'approximation diophantienne.

Le résultat est le suivant :

Pour tout nombre irrationnel algébrique α et pour tout ε > 0, l'inéquation d'inconnues q > 0 et p entiers :

$|\alpha -\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^{2+\epsilon }}$

n'a qu'un nombre fini de solutions (ce n'est plus le cas pour ε = 0, d'après le théorème d'approximation de Dirichlet).

Ou encore, sous les mêmes hypothèsesModèle:, : il existe une constante A > 0 (dépendant de α et ε) telle que

$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{Z},\mathrm{\forall }q\in {\mathbb{N}}^{*}|\alpha -\frac{p}{q}|\ge \frac{A}{q^{2+\epsilon }}.$

Ceci signifie que la mesure d'irrationalité d'un nombre irrationnel algébrique est égale à 2 et permet, par contraposition, de montrer la transcendance de certains nombres (cependant, le [[e (nombre)|nombre Modèle:Math]], qui est transcendant, échappe à ce critère : sa mesure d'irrationalité est égale à 2). Ce théorème est d'ailleurs une généralisation du théorème de Liouville qui avait été historiquement le premier critère de transcendance connu.

Ce résultat a valu à Klaus Roth la médaille Fields en 1958.

Articles connexes

• Conjecture abc
• Équation de Thue
• Lemme de Siegel
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