Loi de Kumaraswamy

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Kumaraswamy ou loi de Kumaraswamy doublement bornée est une loi de probabilité continue dont le support est $[0,1]$ et dépendant de deux paramètres de forme $a$ et $b$.

Elle est similaire à la loi bêta, mais sa simplicité en fait une loi utilisée spécialement pour les simulations grâce à la forme simple de la densité de probabilité et de la fonction de répartition. Cette loi a été initialement proposée par Modèle:Lien pour des variables minorées et majorées.

Caractérisations

Fonction de densité

La densité de probabilité de la loi de Kumaraswamy est :

$f(x;a,b)=\{\begin{array}{cc}ab{x}^{a-1}{(1-x^a)}^{b-1}& \text{pour }x\in [0,1]\\ 0& \text{sinon. }\end{array}$

fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi de Kumaraswamy est :

$F(x;a,b)=\{\begin{array}{cc}1-(1-x^a{)}^b& \text{pour }x\in [0,1]\\ 0& \text{sinon}.\end{array}$

Généralisation sur un intervalle quelconque

Dans sa forme simple, la loi a pour support [0,1]. Dans une forme plus générale, la variable normalisée $x$ est remplacée par la variable $z$ non normalisée définie par :

$x=\frac{z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}},z_{\text{min}}\le z\le z_{\text{max}}.$

Propriétés

Les moments de la loi de Kumaraswamy sont donnés par

$m_n=𝔼(X^n)=\frac{b\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{a})\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(1+b+\frac{n}{a})}=b\mathrm{B}(1+\frac{n}{a},b)$

où Modèle:Math est la fonction gamma et Modèle:Math est la fonction bêta. La variance, l'asymétrie et le kurtosis peuvent être calculés à partir de ces moments ; par exemple, la variance est donnée par :

${\sigma }^2=m_2-m_1^2.$

Relation avec la loi bêta

La loi de Kumaraswamy possède des relations étroites avec la loi bêta. On considère $X_{a,b}$ est une variable aléatoire de la loi de Kumaraswamy avec les paramètres a et b. Alors $X_{a,b}$ est la racine a-ième d'une variable aléatoire de loi bêta.

Plus formellement, notons $Y_{1,b}$ est une variable aléatoire de loi bêta avec pour paramètres $\alpha =1$ et $\beta =b$. il existe alors une relation entre $X_{a,b}$ et $Y_{1,b}$ :

$X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},$

dont l'égalité est une égalité entre lois, c'est-à-dire :

$\mathbb{P}(X_{a,b}\le x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}ab{t}^{a-1}(1-t^a{)}^{b-1}dt=\underset{0}{\overset{x^a}{\int }}b(1-t{)}^{b-1}dt=\mathbb{P}(Y_{1,b}\le x^a)=\mathbb{P}(Y_{1,b}^{1/a}\le x).$

On peut alors introduire des lois de Kumaraswamy en considérant des variables aléatoires de la forme $Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }$, avec $\gamma >0$ et où $Y_{\alpha ,\beta }$ est une variable aléatoire de loi bêta avec paramètres $\alpha$ et $\beta$. Les moments de la loi de Kumaraswamy sont donnés par :

$m_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )\mathrm{\Gamma }(\alpha +n/\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n/\gamma )}.$

Il est à remarquer que l'on peut obtenir les moments originaux en posant $\alpha =1$, $\beta =b$ et $\gamma =a$. La fonction de répartition n'a cependant pas une forme simple.

Relations avec d'autres lois

• Si $X\sim \text{Kumaraswamy}(1,1)$ alors $X\sim 𝒰(0,1)$
• Si $X\sim U(0,1)$ (loi uniforme continue) alors ${(1-{(1-X)}^{\frac{1}{b}})}^{\frac{1}{a}}\sim \text{Kumaraswamy}(a,b)$
• Si $X\sim \text{Beta}(1,b)$ (loi bêta) alors $X\sim \text{Kumaraswamy}(1,b)$
• Si $X\sim \text{Beta}(a,1)$ (loi bêta) alors $X\sim \text{Kumaraswamy}(a,1)$
• Si $X\sim \text{Kumaraswamy}(a,1)$ alors $(1-X)\sim \text{Kumaraswamy}(1,a)$
• Si $X\sim \text{Kumaraswamy}(1,a)$ alors $(1-X)\sim \text{Kumaraswamy}(a,1)$
• Si $X\sim \text{Kumaraswamy}(a,1)$ alors $-\ln (X)\sim ℰ(a)$, où $ℰ(\lambda )$ désigne la loi exponentielle de paramètre λ.
• Si $X\sim \text{Kumaraswamy}(1,b)$ alors $-\ln (1-X)\sim ℰ(b).$

Voir aussi

Bibliographie

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