Loi de Nakagami

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Nakagami ou loi de m-Nakagami est une loi de probabilité continue à deux paramètres et de support $[0,\mathrm{\infty }[$. Le paramètre $m>0$ est un paramètre de forme, le second paramètre $\omega >0$ permet de contrôler la propagation. Cette loi est liée à la loi gamma, son nom est issu du statisticien Minoru Nakagami.

Caractérisations

La densité de probabilité de la loi de Nakagami est donnée par :

$f(x;m,\omega )=\{\begin{array}{cc}\frac{2m^m}{\mathrm{\Gamma }(m){\omega }^m}{x}^{2m-1}\exp (-\frac{m}{\omega }{x}^2)& \text{ pour }x>0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

où $\mathrm{\Gamma }$ est la fonction Gamma.

Sa fonction de répartition est :

$F(x;m,\omega )=\{\begin{array}{cc}P(m,\frac{m}{\omega }{x}^2)& \text{ pour }x>0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

où P est la fonction gamma incomplète (régularisée).

Estimation des paramètres

Les paramètres $m$ et $\omega$ sont :

$m=\frac{{𝔼}^2\left[X^2\right]}{Var\left[X^2\right]},$

et

$\omega =𝔼\left[X^2\right].$

Simulation

La loi Nakagami est liée à la loi Gamma. En particulier, pour une variable aléatoire Y de loi Gamma, $Y\sim \text{Gamma}(k,\theta )$, il est possible d'obtenir une variable aléatoire X de loi de Nakagami, $X\sim \text{Nakagami}(\mu ,\omega )$, en posant $k=m$, $\theta =\omega /m$, et en considérant la racine carrée de Y :

$X=\sqrt{Y}$.

Historique et applications

L'utilisation de la loi de Nakagami remonte à 1960, c'est-à-dire que c'est une loi relativement nouvelle. Elle est utilisée pour modéliser l’atténuation des réseaux sans fils au travers de plusieurs chemins.