Loi du zéro-un de Borel

La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », par Émile Borel, en vue de la démonstration du théorème des nombres normaux, et en vue d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sensModèle:Quoi, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au lemme de Borel-Cantelli, d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres.

Énoncé

Dans un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P}),$ considérons une suite $(A_n{)}_{n\ge 0}$ d'éléments de $𝒜$ (ou "événements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :

Limite supérieure d'ensembles

Modèle:Théorème En d'autres termes, on peut dire que $\omega \in \underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n$ si et seulement si l'ensemble $\{k\ge 0|\omega \in A_k\}$ est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout $n\ge 0$, on peut trouver $k\ge n$ tel que $\omega \in A_k$. Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

$\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n=\bigcap _{n\ge 0}(\bigcup _{k\ge n}{A}_k).$

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que $\omega \in \underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n$ si et seulement si $\{\omega \in A_k\}$ "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

$\mathbb{P}\left(\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n\right)=\mathbb{P}\left(A_n\text{i.o.}\right).$

La définition "$\omega \in \underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n$ si et seulement si $\omega$ appartient à une infinité de $A_k$" peut induire en erreur : si, par exemple, toutes les parties $A_k$ sont égales, il se peut que $\omega$ appartienne à $A_k$ pour une infinité d'indices $k$, et il se peut donc que $\omega$ appartienne à $\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n,$ sans pour autant qu'$\omega$ appartienne à une infinité de $A_k$ (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul $A_k$).

Voir aussi

• Lemme de Borel-Cantelli
• Francesco Paolo Cantelli, mathématicien italien
• Émile Borel, mathématicien français
• Loi du zéro un de Kolmogorov
• Limites inférieure et supérieure
• Loi forte des grands nombres