Loi infiniment divisible

En probabilités, une loi infiniment divisible est une propriété de certaines lois de probabilités, étendant la définition des lois stables.

Définition

Pour n un entier non nul, une loi de probabilités $ℒ$ est dite n-divisible si et seulement si, pour n variables aléatoires $X_1,...,X_n$, iid et de même loi $ℒ$, la variable $X_1+...+X_n$ suit la même loi $ℒ$.

Une loi est dite infiniment divisible si et seulement si elle est n-stable pour tout n > 0.

De manière équivalente, une loi de fonction caractéristique Modèle:Mvar est infiniment divisible si et seulement si, pour tout n > 0, Modèle:Mvar est une fonction caractéristique.

Exemples

Les lois normale, de Poisson, exponentielle, gamma, géométrique, binomiale négative, de Cauchy, du χ² non centrée, de Pareto, de Gumbel, de demi-Cauchy sont des lois infiniment divisibles.

Processus de Lévy

Modèle:Loupe Les lois des accroissements d'un processus de Lévy sont infiniment divisibles, les accroissements de longueur t étant la somme de n accroissements de longueur t/n qui sont i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) par hypothèse.

Références

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage