Méplat (mathématiques)

En analyse, un méplat est de façon générale un point d'une courbe ou d'une surface où celle-ci est approximativement rectiligne, ou plane.

Méplat à deux dimensions

La courbe d'équation $y=x^4$ présente un méplat en $x=0$.

Dans un repère cartésien $\{x,y\}$, le graphe $y=f(x)$ d'une fonction $f$ présente un méplat à l'abscisse $x_0$ si :

$\{\begin{array}{c}{f}^{″}(x_0)=f^{‴}(x_0)=0\\ f^{(4)}(x_0)\ne 0\end{array}$

ou, plus généralement, s'il existe un entier pair $k$ supérieur à $2$, tel que $f$ soit dérivable au moins $k$ fois en $x_0$ et que :

$\{\begin{array}{c}{f}^{(n)}(x_0)=0\text{pour}n=2,\dots ,k-1\\ f^{(k)}(x_0)\ne 0\end{array}$

Le point $(x_0,f(x_0))$ est un point méplat. La courbure en $x=x_0$ est nulle, et elle a le même signe de part et d'autre de $x_0$ (pour $x=x_0-\epsilon$ et $x=x_0+\epsilon$, où $\epsilon$ désigne un infiniment petit), ce qui distingue les points méplats des points d'inflexion.

Méplat à trois dimensions

Un méplat (ou point planaire) d'une surface Modèle:Math est un point où les deux courbures principales sont nulles.