Méthode de Laplace

En mathématiques, la méthode de Laplace, due à Pierre-Simon de Laplace, est une méthode pour l'évaluation numérique d'intégrales de la forme :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\mathrm{e}}^{Mf(x)}\mathrm{d}x$

où Modèle:Mvar est une fonction deux fois dérivable, Modèle:Mvar est un grand nombre réel et les bornes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar peuvent éventuellement être infinies.

Principe de la méthode

Illustration de la méthode de Laplace : en noir, la fonction Modèle:Math, et en rouge, Modèle:Math avec Modèle:Math : on remarque que seule l'aire sous la courbe à intégrer près du maximum de $f$ (pointillés) est significative.

Pour Modèle:Math, si l'on suppose que la fonction Modèle:Mvar admet un unique maximum au point $x_0$ alors pour Modèle:Mvar grand, seuls les points au voisinage de Modèle:Math contribuent de façon significative à l'intégrale :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\mathrm{e}}^{Mf(x)}\mathrm{d}x.$

Si Modèle:Mvar est négatif, en considérant Modèle:Math et Modèle:Math on peut se ramener à considérer les maximums de Modèle:Math donc les minimums de Modèle:Mvar.

Méthode de Laplace, cas général

Pour appliquer la méthode de Laplace, un certain nombre de conditions sont requises. Le point Modèle:Math ne doit pas être l'une des bornes de l'intégrale et Modèle:Math ne peut s'approcher de la valeur Modèle:Math qu'au voisinage de Modèle:Math.

Par application du théorème de Taylor, au voisinage de Modèle:Math, Modèle:Math s'écrit :

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2+O((x-x_0{)}^3)$.

Puisque Modèle:Mvar admet un maximum en Modèle:Math, qui n'est pas l'une des bornes de l'intégrale, $f{}^{\prime }(x_0)=0$ et $f{}^{″}(x_0)<0$, on a alors dans un voisinage de Modèle:Math :

$f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f^{″}(x_0)|(x-x_0{)}^2$

Et pour l'intégrale :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\mathrm{e}}^{Mf(x)}\mathrm{d}x\approx {\mathrm{e}}^{Mf(x_0)}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\mathrm{e}}^{-M|f^{″}(x_0)|(x-x_0{)}^2/2}\mathrm{d}x$

La deuxième intégrale peut être estimée à l'aide d'une intégrale de Gauss en remplaçant les bornes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar par Modèle:Math et Modèle:Math et l'on a alors :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\mathrm{e}}^{Mf(x)}\mathrm{d}x\approx \sqrt{\frac{2\pi }{M|f^{″}(x_0)|}}{\mathrm{e}}^{Mf(x_0)}\text{ quand }M\to \mathrm{\infty }$

Le remplacement des bornes par Modèle:Math et Modèle:Math est numériquement valide car, quel que soit $k\in \mathbb{N},{\mathrm{e}}^{-M|f^{″}(x_0)|(x-x_0{)}^2/2}$ est un $o((x-x_0{)}^{-k})$

Les deux conditions demandées pour effectuer cette méthode ne sont pas nécessairement requises et il existe des généralisations pour le cas où Modèle:Math est l'une des bornes en utilisant un développement au premier ordre autour de Modèle:Math ainsi que par découpage d'intégrale pour le cas où deux, ou un nombre fini, de maximums locaux de Modèle:Mvar auraient des valeurs proches. La méthode du point col permet également une généralisation pour

$I(\lambda )=\underset{𝒞}{\int }f(z){\mathrm{e}}^{\lambda g(z)}\mathrm{d}z$

Exemple : formule de Stirling

La méthode de Laplace peut être employée pour démontrer la formule de Stirling :

Pour Modèle:Mvar grand :$N!\approx \sqrt{2\pi N}{N}^N{\mathrm{e}}^{-N}$

Par définition de la fonction gamma, on a

$N!=\mathrm{\Gamma }(N+1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^N\mathrm{d}x.$

Avec le changement de variable Modèle:Mvar on obtient :

$\begin{array}{cc}N!& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-Nz}{\left(Nz\right)}^{N}N\mathrm{d}z=N^{N+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-Nz}{z}^N\mathrm{d}z\\ & =N^{N+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-Nz}{\mathrm{e}}^{N\ln z}\mathrm{d}z=N^{N+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{N(\ln z-z)}\mathrm{d}z.\end{array}$

En considérant la fonction Modèle:Math, qui est deux fois dérivable :

$f^{\prime }(z)=\frac{1}{z}-1,f^{″}(z)=-\frac{1}{z^2}.$

on voit que Modèle:Mvar atteint son maximum en Modèle:Math et sa dérivée seconde vaut –1 en 1 ; on a alors avec la méthode de Laplace :

$N!\approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi }{N}}{\mathrm{e}}^{-N}=\sqrt{2\pi N}{N}^N{\mathrm{e}}^{-N}.$

Voir aussi

Bibliographie

• J. Dieudonné, Calcul infinitésimal Modèle:Détail des éditions, chap. IV, §2
• P. Deift, X. Zhou, A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation, Ann. of Math. (2), v.137 (1993), no. 2, 295–368
• A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, 1956

Articles connexes

• Méthode de la phase stationnaire
• Méthode du point col