Méthode du point médian

En analyse numérique, la méthode du point médian est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x.$

Le principe est d'approcher l'intégrale de la fonction $f$ par l'aire d'un rectangle de base de segment $[a,b]$ et de hauteur $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$, ce qui donne :

$R=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right).$

Cette aire est aussi celle du trapèze de base $[a,b]$ et dont le côté opposé est tangent au graphe de $f$ en $c=\frac{a+b}{2}$, ce qui explique sa relative bonne précision.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment $[a,b]$, l'erreur commise est de la forme

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a{)}^3}{24}{f}^{″}(\xi )$

pour un certain $\xi \in [a,b]$.

Démonstration

Soit $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle $[a,b]$, on peut appliquer le théorème de Taylor-Lagrange à la fonction $F$ à l'ordre 2 entre les points $t\in [a,b]$ et $c=\frac{a+b}{2}$. Pour tout $t\in [a,b]$ il existe $\xi \in [a,b]$ tel que

$F(t)=F(c)+F^{\prime }(c)(t-c)+\frac{1}{2}{F}^{″}(c)(t-c{)}^2+\frac{1}{6}{F}^{‴}(\xi )(t-c{)}^3$

en particulier en prenant $t=a$ puis $t=b$, il existe ${\xi }_1,{\xi }_2\in [a,b]$ tel que

$F(b)=F(c)+F^{\prime }(c)(b-c)+\frac{1}{2}{F}^{″}(c)(b-c{)}^2+\frac{1}{6}{F}^{‴}({\xi }_1)(b-c{)}^3=F(c)+f(c)\frac{b-a}{2}+\frac{1}{2}{f}^{\prime }(c){\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2+\frac{1}{6}{f}^{″}({\xi }_1){\left(\frac{b-a}{2}\right)}^3$

et

$F(a)=F(c)+F^{\prime }(c)(a-c)+\frac{1}{2}{F}^{″}(c)(a-c{)}^2+\frac{1}{6}{F}^{‴}({\xi }_2)(a-c{)}^3=F(c)+f(c)\frac{a-b}{2}+\frac{1}{2}{f}^{\prime }(c){\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2+\frac{1}{6}{f}^{″}({\xi }_2){\left(\frac{b-a}{2}\right)}^3$

En soustrayant les deux égalités on obtient :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=f(c)(b-a)+\frac{(b-a{)}^3}{24}\left(\frac{f^{″}({\xi }_1)+f^{″}({\xi }_2)}{2}\right)$

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors l’existence d'un réel $\xi \in [a,b]$ telle que $\frac{f^{″}({\xi }_1)+f^{″}({\xi }_2)}{2}=f^{″}(\xi )$.

Sur une subdivision de l'intervalle

En découpant l'intervalle $[a,b]$ en $n$ segments $[a_k,a_{k+1}]$ de même longueur $h=\frac{b-a}{n}$ et en appliquant la formule précédente sur chacun des petits segments $[a_k,a_{k+1}]$ où $a_k=a+kh$ pour $k\in \{0,1,2,...,n-1\}$ on obtient

$|\underset{a_k}{\overset{a_{k+1}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-hf(a_k+\frac{h}{2})|\le \frac{(a_{k+1}-a_k{)}^3}{24}{M}_2$ avec $M_2={\text{sup}}_{[a,b]}|f^{″}|$

En sommant sur $k$ on obtient

$\begin{array}{cc}|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-h\sum _{k=0}^{n-1}f(a_k+\frac{h}{2})|& =\left|\sum _{k=0}^{n-1}(\underset{a_k}{\overset{a_{k+1}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-hf(a_k+\frac{h}{2}))\right|\\ & \le \sum _{k=0}^{n-1}|\underset{a_k}{\overset{a_{k+1}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-hf(a_k+\frac{h}{2})|\\ & \le \sum _{k=0}^{n-1}\frac{(a_{k+1}-a_k{)}^3}{24}{M}_2\\ & \le \frac{h^3}{24}{M}_2\sum _{k=0}^{n-1}1=\frac{M_2}{24}{\left(\frac{b-a}{n}\right)}^{3}n=\frac{M_2(b-a{)}^3}{24n^2}\end{array}$

Remarques

L'erreur est deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes.

Cette méthode est un cas des formules de Newton-Cotes, où le polynôme d'interpolation est de degré $0$. Elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à $1$.