Matrice d'une application linéaire

En algèbre linéaire, la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, étant donné le choix d'une base pour chacun d'eux.

Définition

Soient :

• E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K, de dimensions respectives n et m ;
• B = (eModèle:Ind, … , eModèle:Ind) une base de E, C une base de F ;
• φ une application de E dans F.

Alors :

• l'application φ est linéaire si et seulement s'il existe une matrice A de MModèle:Ind(K) telle que
  pour tout vecteur x de E, la colonne des coordonnées dans C de φ(x) soit le produit à gauche par A de la colonne de coordonnées de x dans B ;
• une telle matrice A est alors unique : ses n colonnes sont les coordonnées dans C des n vecteurs Modèle:Nobr

Cette matrice A est appelée la matrice de φ dans le couple de bases (B, C) et notée matModèle:Ind(φ), ou parfois MModèle:IndModèle:Exp(φ).

Plus formellement, matModèle:Ind(φ) est caractérisée par :

$\mathrm{\forall }x\in E{\mathrm{mat}}_C(\phi (x))={\mathrm{mat}}_{B,C}(\phi )\times {\mathrm{mat}}_B(x)$.

Exemple

Similitude vectorielle.

Dans le plan vectoriel euclidien ℝModèle:Exp, la similitude directe de rapport Modèle:Sqrt et d'angle 45° (voir illustration) est linéaire.

Sa matrice dans la base canonique (ou dans toute base orthonormée directe) est $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

Soit : $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ Modèle:Clr

Propriétés

• La matrice matModèle:Ind(φ) fournit, colonne par colonne, les coordonnées dans C des n vecteurs Modèle:Nobr de F, qui engendrent l'image de φ. Quant au noyau de φ, c'est le sous-espace vectoriel de E constitué des vecteurs dont les coordonnées dans B sont les solutions X du système linéaire homogène Modèle:Nobr
• L'application de L(E, F) dans MModèle:Ind(K) qui à chaque φ associe sa matrice dans (B, C) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
• Si ψ est une deuxième application linéaire de F dans un troisième espace vectoriel G de base D alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. Plus précisément :${\mathrm{mat}}_{B,D}(\psi \circ \phi )={\mathrm{mat}}_{C,D}(\psi )\times {\mathrm{mat}}_{B,C}(\phi )$.
• Pour toute matrice M de MModèle:Ind(K), l'application X ↦ MX, du K-espace vectoriel MModèle:Ind(K) dans le K-espace vectoriel MModèle:Ind(K), est linéaire et sa matrice dans les bases canoniques est M. En conséquence, il arrive souvent que l'on identifie la matrice M avec cette application linéaire. On parlera alors de noyau de la matrice, d'espaces propres de la matrice, d'image de la matrice, etc.

Voir aussi

Modèle:Autres projets Matrice de passage