Matrice de Householder

En algèbre linéaire, la matrice de Householder associée à un vecteur non nul $v\in {ℝ}^n$ est la matrice définie par :

$H_v=I_n-2\frac{v{v}^T}{\Vert v{\Vert }^2}$

où Modèle:Mvar est la matrice identité de taille Modèle:Mvar.

Dans la suite, $\mathrm{\forall }x,y\in R^n,x\cdot y=⟨x\cdot y⟩$, le produit scalaire euclidien.

Propriétés

• $H_v$ est symétrique et orthogonale (donc involutive).

Modèle:Démonstration Ainsi, Modèle:Mvar est la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan orthogonal au vecteur Modèle:Mvar.

• Si $v=a-b\ne 0$ avec $\Vert b\Vert =\Vert a\Vert$ alors $H_v(a)=b$. C'est sur cette propriété que se fondent toutes les applications des matrices de Householder (matrice de Hessenberg, tridiagonalisation ou décomposition QR).

Applications

Les matrices de Householder sont utilisées pour des algorithmes de factorisation de matrices, comme la factorisation QR.

Article connexe

• Opérateur de Householder

Liens externes

• Modèle:MathWorld