Matrice productive

En algèbre linéaire, une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients positifs $A$ est dite productive, ou de Leontief, s'il existe une matrice colonne à coefficients positifs $P$ de format $n\times 1$ telle que la matrice colonne $P-AP$ soit à coefficients strictement positifs.

Histoire

La notion de matrice productive a été développée par l'économiste Wassily Leontief (Prix Nobel d'économie en 1973) afin de modéliser et d'analyser les relations entre les différents secteurs d'une économie. Les liens d'interdépendances entre ces derniers peuvent ainsi être étudiés par l'analyse entrées-sorties à l'aide de données empiriques.

Aspects mathématiques

Définition explicite

La matrice $A\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$ est productive si et seulement si $A⩾0$ et $\mathrm{\exists }P\in {\mathrm{M}}_{n,1}(ℝ),P>0$ tel que $P-AP>0$.

Exemples

La matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 1/2& 1/2\\ 1/4& 1/2& 0\end{array}\right)$ est productive.

$\mathrm{\forall }a\in {ℝ}_{+}$, la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 0\end{array}\right)$ est productive car les inégalités de définition sont vérifiés par $P=\left(\begin{array}{c}a+1\\ 1\end{array}\right)$.

Propriétés

Caractérisation

Théorème Une matrice $A\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$ à coefficients positifs est productive si et seulement si $I_n-A$ est inversible d'inverse à coefficients positifs.

Transposition

Proposition La transposée d'une matrice productive est productive.

Application

Dans une approche matricielle du tableau entrées-sorties, la matrice de consommation est productive si elle est économiquement viable et si cette dernière ainsi que le vecteur de demande ne comportent que des éléments positifs ou nuls.