Matrice à coefficients positifs

Une matrice $A$ de type $n\times p$ est à coefficients positifs lorsque tous ses éléments sont réels positifs ; on écrira alors $A⩾0$. Elle est dite strictement positive lorsque tous ses éléments sont strictement positifs ; on écrira alors $A>0$.

Relation d'ordre sur les matrices réelles

$A$ et $B$ étant deux matrices réelles $n\times p$ on définit une relation d'ordre partiel sur ces matrices en posant $A⩽B\stackrel{\text{def}}{⟺}B-A⩾0$.

Il est immédiat que cette relation d'ordre est compatible avec l'addition. De même elle est compatible avec la multiplication (à gauche ou à droite) par une matrice positive.

Matrices carrées positives

Graphe associé

À toute matrice carrée positive $A\in {ℳ}_n({ℝ}_{+})$ nous associons le graphe (orienté) $𝒢(A)$ défini par :

• l'ensemble des sommets est $\{1,2,...,n\}$,
• un arc (orienté) joint le sommet $i$ au sommet $j$ si $A_{i,j}>0$.

Rappelons par ailleurs qu'un chemin de longueur $k\in \mathbb{N}$ est une suite de $k$ arcs telle que l'extrémité de chaque arc soit l'origine du suivant. L'origine du premier arc est l'origine du chemin et l'extrémité du dernier arc est l'extrémité du chemin. On peut considérer qu'un chemin de longueur $0$ relie chaque sommet à lui-même.

Il est aisé (par exemple en faisant une récurrence) de vérifier :

Rappelons qu'un graphe est fortement connexe si pour tout couple $(i,j)$ de sommets il existe un chemin joignant $i$ à $j$. Il résulte alors aisément par utilisation du second lemme ci-dessus que $𝒢(A)$ est fortement connexe si et seulement s'il existe un naturel $k$ tel que $(A+I{)}^k>0$.

Tout chemin dans un graphe peut être simplifié en supprimant les cycles (chemin dont l'origine coïncide avec l'extrémité) parcourus dans ce chemin. Par conséquent un tel chemin simplifié ne peut passer qu'une fois au plus par chaque sommet et est donc de longueur inférieure ou égale à $n-1$. Le graphe est donc fortement connexe si et seulement s'il existe un naturel $k⩽n-1$ tel que $(A+I{)}^k>0$.

Matrice irréductible

Nous dirons que la matrice carrée positive $A\in {ℳ}_n({ℝ}_{+})$ est irréductible si le graphe $𝒢(A)$ est fortement connexe.

En particulier une matrice strictement positive est irréductible puisque chaque sommet $i$ de $𝒢(A)$ est relié à tout sommet $j$ par un arc (chemin de longueur 1).

L'étude ci-dessus montre qu'une caractérisation des matrices positives irréductibles est la suivante : Il existe un naturel $k⩽n-1$ tel que $(A+I{)}^k>0$.

On peut également caractériser ces matrices positives irréductibles par $(A+I{)}^{n-1}>0$. Modèle:Démonstration

Matrice réductible

Il s'agit évidemment d'une matrice carrée positive non irréductible. En plus des caractérisations évidentes obtenues par négation des caractérisations ci-dessus nous avons : Modèle:Théorème

Propriétés spectrales des matrices irréductibles

Matrice primitive

Définition :
Une matrice carrée positive irréductible de rayon spectral $\rho$ est dite primitive si $\rho >0$ et si $\rho$ est la seule valeur propre (complexe) de module maximal $\rho$.

On remarque qu'en particulier une matrice strictement positive est primitive (c'est dans ce cas des matrices strictement positive qu'O. Perron a établi son théorème en 1907).

Une matrice carrée positive irréductible non primitive est dite imprimitive. Dans ce cas le nombre $h$ de valeurs propres complexes de module maximal $\rho$ est désigné par indice d'imprimitivité de $A$.

Propriétés spectrales des matrices carrées positives générales

Le théorème de Perron Frobenius ne s'applique pas aux matrices réductibles. Cependant il est possible d'en donner une forme affaiblie valable de manière générale.

Cas particuliers

Parmi les familles de matrices à coefficients positifs qui ont été beaucoup étudiées on compte les matrices stochastiques, les matrices bistochastiques et les matrices stochastiques à coefficients positifs.