Matrices de Gell-Mann

Les Modèle:Terme défini, nommées d'après Murray Gell-Mann (Modèle:Date--Modèle:Date-), sont, en physique des particules, un ensemble de huit matrices 3 x 3 hermitiennes et de trace nulle qui forment une représentation des générateurs du groupe SU(3).

Elles sont notées ${\lambda }_a$ et sont par convention données par les huit matrices suivantes :

${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -\mathrm{i}& 0\\ \mathrm{i}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$
${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -\mathrm{i}\\ 0& 0& 0\\ \mathrm{i}& 0& 0\end{array}\right),$
${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),$	${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -\mathrm{i}\\ 0& \mathrm{i}& 0\end{array}\right),$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right).$

Elles vérifient les relations suivantes :

$\begin{array}{cc}\mathrm{T}\mathrm{r}\left({\lambda }_a{\lambda }_b\right)& =2{\delta }_{ab}\\ [{\lambda }_a,{\lambda }_b]& =2\mathrm{i}{f}_{abc}{\lambda }_c\end{array}$

où :

• $\delta$ est le symbole de Kronecker,
• $\mathrm{T}\mathrm{r}$ est la trace,
• $[\cdot ,\cdot ]$ est le commutateur,
• $\mathrm{i}$ est l'unité imaginaire $({\mathrm{i}}^2=-1)$
• sur un indice double (ici $c$), une sommation est à effectuer (convention d'Einstein).

La première relation exprime que les matrices sont orthogonales et normées. La deuxième avec le commutateur contient les constantes de structure dont les valeurs sont :

• $f_{123}=1$,
• $f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}=\frac{1}{2}$,

et

• $f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

A noter que $f_{abc}$ est totalement antisymétrique par rapport aux trois indices, donc p.ex., $f_{123}=-f_{132}=f_{231}$.

Voir aussi

• Matrices de Pauli
• Classification des mésons et baryons (nommée la « voie octuple » par Murray Gell-Mann)
• Matrice de Dirac

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.

Modèle:Portail