Matrices l-équivalentes

En algèbre linéaire, deux matrices sont l-équivalentes (ou ligne-équivalentes) si on peut passer de l'une à l'autre par des opérations élémentaires sur les lignes. Si A et B sont deux matrices, cette condition se réécrit comme : il existe une matrice inversible $G$ tel que $A=GB$.

Définition

Deux matrices A et B de $M_{m,n}(𝒦)$ sont l-équivalentes s'il existe des matrices élémentaires $M_1,\dots ,M_n$ telles que $A=M_1\dots M_{n}B$. Ceci revient à dire que l'on peut passer de l'une à l'autre par des opérations élémentaires sur les lignes. Cette définition est équivalente à l'existence d'une matrice inversible G telle que $A=GB$. En effet, le groupe linéaire $G{L}_n(K)$ est engendré par les matrices élémentaires. On note parfois $A\stackrel{l}{\sim }B$.

Propriétés

La l-équivalence est une relation d'équivalence sur l'ensemble des matrices.

• elle est réflexive
• elle est symétrique : si $A=GB$, avec G une matrice inversible, alors $G^{-1}A=B$
• elle est transitive

Deux matrices l-équivalentes ont même rang ; la réciproque n'est pas vraie. Il suffit de prendre $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Deux matrices de $M_{m,n}(𝒦)$ sont l-équivalentes si et seulement si elles ont le même noyau.

Toute matrice est l-équivalente à une matrice échelonnée en lignes. Les opérations élémentaires à effectuer pour passer d'une matrice à une matrice échelonnée en lignes peuvent être obtenues par le pivot de Gauss.