Mesure intérieure

En mathématiques, une mesure intérieure est une fonction définie sur l'ensemble des parties d'un ensemble donné, qui associe à chaque sous-ensemble une valeur positive, potentiellement infinie.

Cette valeur peut être vue intuitivement comme la valeur minimum de la mesure de ce sous-ensemble.

Définition

Étant donné un ensemble X, une mesure interne est une fonction φ définie sur l'ensemble des parties de X à valeurs positives dans la droite réelle achevée.$$\varphi :𝔓(X)\to [0,\mathrm{\infty }],$$qui vérifie les conditions suivantes :

• L'ensemble vide est de mesure nulle :

$$\varphi (\mathrm{\varnothing })=0$$

• φ est superadditive : pour tous ensembles A et B disjoints :

$$\varphi (A\cup B)\ge \varphi (A)+\varphi (B).$$

• Pour toute suite A₁, A₂,... d'ensembles emboîtés (c'est-à-dire vérifiant pour tout j $A_j\supseteq A_{j+1}$) ) et si A₁ est de mesure finie ($\varphi (A_1)<\mathrm{\infty }$) alors, $$\varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\right)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (A_j)$$
• Si l'ensemble A est de mesure infinie, alors pour tout réel positif r, il existe un sous-ensemble B inclus dans A tel que $$r\le \varphi (B)<\mathrm{\infty }.$$

Mesure intérieure induite

Soit A une tribu sur X et μ une mesure sur cette tribu. Alors μ induit sur X une mesure intérieure μ_* définie pour toute partie T de X par:$${\mu }_{*}(T)=\sup \{\mu (S):S\in 𝒜\text{ et }S\subseteq T\}.$$On peut alors voir la valeur de μ_* sur T comme la taille minimale de T, puisque T est au moins aussi grand que la mesure de ses sous-ensembles mesurables (au sens de μ). Bien que μ_* ne soit en général pas une mesure, elle en partage certaines propriétés

1. ${\mu }_{*}(\mathrm{\varnothing })=0,$
2. ${\mu }_{*}$ est positive,
3. Si $E\subseteq F$ alors ${\mu }_{*}(E)\le {\mu }_{*}(F).$

Complétion d'une mesure

Modèle:Article détaillé La mesure intérieure induite est souvent utilisée de concert avec la mesure extérieure pour étendre une mesure donnée à une tribu plus grande.

Soit μ une mesure finie définie sur une tribu A sur X et μ* et μ_* respectivement les mesures extérieures et intérieures induites par μ, alors les parties T de X telles que μ*(T) = μ_*(T) forment une tribu  contenant A.

On peut alors définir pour tout T dans  une nouvelle mesure μ' telle que$${\mu }^{\prime }(T)={\mu }^{*}(T)={\mu }_{*}(T)$$Cette nouvelle mesure est appelée complétion de la mesure μ.

Articles connexes

• Théorie de la mesure
• Espace mesurable
• Espace mesuré
• Mesure extérieure