Module fidèle

Un module M sur un anneau A est dit fidèle si son annulateur est réduit à {0}, en d'autres termes, si l'action de chaque $\alpha \in A\setminus \{0\}$ est non triviale ($\alpha \cdot x\ne 0$ pour un certain $x\in M$). Autrement dit, un module est fidèle si la représentation associée $\psi :A\to \mathrm{End}(M)$ est injective.

À chaque module, on peut associer un module fidèle en procédant de cette manière. Le morphisme d'anneaux $\psi :A\to \mathrm{End}(M)$ se factorise en un morphisme injectif $\tilde{\psi }:A/\ker \psi \to \mathrm{End}(M)$. Comme $\ker \psi$ n'est autre que Ann(M), $\tilde{\psi }$ donne à M une structure de $A/\mathrm{Ann}(M)$-module, et cette fois M est fidèle puisque $\tilde{\psi }$ est injective.