Moyenne empirique

En théorie des probabilités, la moyenne empirique d’un échantillon de variables aléatoires réelles ou vectorielles $(X_1,..,X_n)$ est définie par la moyenne arithmétique des variables : ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$.

Cette moyenne constitue ainsi un estimateur sans biais de l’espérance pour la loi commune des variables $X_1,...,X_n$. Lorsque cette loi a une variance finie ${\sigma }^2$, la moyenne empirique a pour variance ${\sigma }^2/n$, ce qui en fait aussi un estimateur convergent. Elle permet aussi de définir d’autres estimateurs, comme celui de la variance $S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ ou de son équivalent sans biais ${S^{*}}^2=\frac{n}{n-1}{S}^2$.

La moyenne empirique est très utilisée en application du théorème central limite, qui stipule qu’elle converge en loi vers la loi normale dont l’espérance et la variance sont celles des variables $X_1,...,X_n$. Elle donne lieu ainsi à l’expression d’intervalles de confiance. Dans le cas où les variables $X_1,...,X_n$ suivent déjà la loi normale ou une autre loi stable, la moyenne empirique suit le même type de loi.

Voir aussi

Bibliographie

• Gilbert Saporta, Probabilités, analyse de données et statistique §12.2.1 « Étude de la statistique $\bar{X}$ », Éditions TECHNIP, Paris 2011.

Liens internes

• Estimateur (statistique)
• Moyenne arithmétique